NOTIONS PRÉLIMINAIRES

136. Les deux principaux instruments employés dans la construction graphique des figures sont la règle et le compas. Chacun sait comment on trace des lignes droites avec la règle et des circonférences avec le compas.

On fait d*abord tout le dessin au crayon; on exécute ensuite la mise à l'encre à l'aide d'un tire-ligne à branches égales et que Ton tient perpendiculairement au pian du papier. Les données et les résultats sont représentés par un train plein ou continu; on représente par un trait pointillé on interrompu les lignes de construction, c'est-à-dire les lignes qui servent il déduire les résultais des données.

£npratique> lorsqu'on détermine une droite par deux points, il convient que ces deux points ne soient pas trop voisins Tun de l'autre; sans cela» ta moindre erreur sur la position de Tun d'eux entraînerait une erreur notable sur la direction de la droite.

De même, quand un point est déterminé par la rencontre de deux droites, il faut que ces droites ne se coupent pas sous un angle trop petit; sans cela l'épaisseur inévitable des deux traits laisserait dans l'incertitude sur la véritable position du point de rencontre.

PROBLÈME

1 37. Trouver la plus grande commune mesure de deux lignes droites.

Soient A et B deux droites commensurabltfs entre elles; la recherche de leur plus grande commune mesure, c'est-à-diro de la plus grande portion de droite qui soit une partie aliquote de chacune d'elles, repose sur les deux principes suivants :

!• iSi B est une partie aliquote de A, B est évidemment la plus grande commune mesure de A et de h;

^" Si A contient m fois B, plus un reste B moindre que [>,

lapins granae commune mesure de X et Je h est la même i^ue celte de B et de R. On a, en effet»

A=rmBH-R;

or, toute commune mesure de A et de B, étant une partie aliquote deB, Test aussi de mB, et, par suite, de A — mB ou de R. Inversement, toute commune mesure de B et de R, étant une partie aliquote de B, l'est aussi de mB, et, par suite, de mB + R ou de A. Donc les communes mesures de A et de B sont les mêmes que celles de B et de R; et, en particulier, la plus grande commune mesure est la même de pan et d'autre.

D'après cela, on portera B sur A autant de fois que possible; s'il n'y a pas de reste, B sera la plus grande commune mesure demandée; s'il y a un reste R, on sera ramené à chercher In plus grande commune mesure de B et de R. On portera donc U sur B autant de fois que possible; s'il n'y a pas de reste. Usera la plus grande commune mesure demandée; s'il y a u» reste R', on sera ramené à. chercher la plus grande commune mesure de R et de R'.

Il est aisé de prouver qu'en continuant de la sorte on arrivera à un reste qui sera une partie aliquote du précédent. En effet, dans toute division, le dividende est au moins égal à la somme du diviseur et du reste ; le reste est d'ailleurs moindre que le diviseur; donc le reste est inférieur à la moitié du dividende. On voit par là que, dans la recherche de la plus grande commune mesure de A et de B, le premier reste sera

inférieur à —; le troisième reste sera moindre que la moitié

du premier, et, par suite, inférieur à y *, le cinquième reste

sera moindre que la moitié du troisième, et, par suite, infé-

rieur à -rr \ et ainsi de suite. L'opération ne pourra donc passe

prolonger indéfiniment, car on tomberait sur un reste moindre que la plus grande commune mesure supposée; ce qui est absurde, puisque, d'après la théorie précédente, la plus grande commune mesure doit diviser exactement les restes successifs.

On arriveRi donc a un reste qui som une |>arlie «Uquoio <)u précédenu el ce resle sera la plus grande commune mesuro demandée.

f38. RtapROQucMKNT» si» en appUquani le proci^dô qu*on vient d'indiquer à deux droites données, on arrive à un n^slo qui soit contenu un nombre exact de fois dans celui qui le précède, les deux droites considérées seront commensurablos entre elles, et ce reste sera alors leur plus faraude commune inesure.

Ainsi, supposons qu'on ail trouvé successivement

À-r^B -R, R .5U4-R\ R aR \{\ R 3U':

on aura

R--:7R', B :3SR^ A: jSR.

oi le rapport des deux droites A el B sera représenté par le

nombre fractionnaire * • D'ailleurs W" étant la plus ^nuuh*

commune mesure de R' et de R* sera, d*nprès ce qui prôoéths la plus grande commune mesure do A cl do B.

SCOUB.

139. Il résulte de h\ que )o proctVUS prm^dcnt, appliqiuS à doux (iroil««^^ incommensurables entre elles, ronduirn à une siVio (ropi^ralions iulonni nabic.

Celte conclusion, absolument H^ourrusr nt tiuWir, no ne vt^rilio pas tn /jnttif/ue; car les restes cessent d'iHro appnVbbloA au oonipas. Main, s'il est impossible de constater de cette mnni6ro,ou plusi;ôni^ruUMni*nt nu moyen d'une opération mécanique quolcompto, rincoininimrturubiliU^ di« «leux droites, on peut parfois, lorsque les (Iroilrs n^ultout d'une ronslruction bien définie, démontrer gétmtUrhiuvmcnt leur iiuîouuïu'nsur»hililé en s'appuyant sur la théorie qtii précède et en cliprcliiint la loi des restes successifs.

Nous allons, comme exemple, démontrer ainsi que h dtni^otmh KV, et {e côté AB d^un carré ABCD sont deux tfffftrx incomnwnsurablvs tnttr fi/es.

Le côté AB (Jt^. gO) étant moindre que la diagonale AC et phii ^ri\m\ que la moitié AO de cette diagonale, on voit d'abord cpic, si Ton prend sur la diagonale AC la longueur AE égale à AB, le reste KC sera moindro que AB.

-2 GÊOHÊTRIB PLANE.

Comparons maintenant ce reste £C au côté AB on à son égal BC. Si l'on mène EF parallèle à BD, le triangle FEC, rectangle en E, sera isocèle, puisque Tangle EFC est égal à son correspondant OBC, et, pjr suite.

Fij.

gfi.

à ECF. Donc, dans ce triangle comme dans le triangle analogue ABC, si Ton prend FG égale à EC, le reste GC sera moindre que EC. D'ailleurs, les triangles rectangles ABF, AEF, ayant l'hypoténuse commune et un côté égal, sont égaux, et, par suite, BF est égal à FE ou à EC ou à FG. Donc enfin le côté BG contient (leur fois EC, ptiis un reste GC moindre que EC.

Ce dernier résultat, énoncé d'une manière générale, prouve que danii tout triangle rectangle et isocèle le côté contient deux fois la différence entre l'hypoténuse et le côté, plus un reste moindre que cette différence. Donc, à son tour, le côté EC contiendra deux fois GC, plus un nouveau reste moindre que GC, et ainsi de suite.

On voit par là que, si Ton applique aux droites AC et AB la règle prescrite au n" 137, chaque reste contiendra deux fois le précédent, plus un nouveau reste moindre que celui-ci, de sorte que l'opération n'aura pas de fin. Les deux droites considérées sont donc incommensurables entre

elles.

PROBLÈME

140. Par un point B d'une droite BC, mener une seconde droite qui fasse avec la pn^mière un angle ép;al à un ani^/c donné {fig. 97).

Du point A comme centre, avec une ouverture de compas

LIVRK If. — LA CIRCONFfinENCE DR CERCLR, ^o

arbiiraire, mais assez grantle, décrivez un arc de cercle qui coupe en D et £ les côtés de l'angle donné : avec la même ouverture, et du point B comme centre, décrivez un second arc de cercle GF, qui coupe en F la droite BC. Prenez avec le compas la longueur de la corde DE (il est Inutile pour cela de iracer cette corde), et du point F comme centre, avec cette ouverture, décrivez un arc de cercle qui coupe en H Tare GF; la droite BH sera la droite demandée.

En effet, les arcs HF et DE ayant des rayons égaux çt des cordes égales sont égaux (100); par suite, les angles au centre HBF, DAË, qui correspondent à ces arcs, sont aussi 4>gaux (126).

Î41. On divise la circonférence en 36o parties égales qu'on nomme degrés, le degré en 60 parties égales appelées minutes, et la minute en 60 parties égales appelées secondes. D'après cela, la circonférence contient 360.60 TT= 21600 minutes, ou ai 600.60 =^ 1296000 secondes; la demi-circonférence contient 180 degrés, ou 10800 minutes, ou 648000 secondes; enfln le quadrant vaut 90 degrés, ou 54oo minutes, ou 3?.4 oo« secondes.

On évalue un arc quelconque en degrés, minutes et secondes de la circonférence. Ainsi Ton dit : un arc de 36 degrés i5 minutes 21 secondes, que Ton écrit : arc de 36**i5'aii''.

Deux arcs AB et A'B' {fig. 98), décrits entre les côtés d'un même angle XOY, de son sommet comme centre, contiennent

Fi{î. i>S.

Fig. 99.

lo même nombre de degrés, minutes et secondes. En effet, le rapport de Tare AB au quadrant AC est le même que le rapl>ort de Tare A'B' au quadrant A'C, puisque chacun de ces rapports est égal à celui de l'angle XOY à l'angle droit

''/^ GÊOUÉTKIE PLANK.

XOZ. Or, comme le quadrant AC vaut 90 degrés de la circonférence OA, et que le quadrant A'C vaut 90 degrés de la circonférence OA', les arcs AB et A'B' vaudront le même nombre de degrés, minutes et secondes de leurs circonférences respectives.

D'après cela, on appelle angle de 36° 1 5' 21" l'angle qui intercepte entre ses côtés, sur toute circonférence décrite de son sommet comme centre, un arc de 36*»i5'2i''.

Connaissant le nombre de degrés, minutes et secondes d'un angle, on obtient son rapport à Tangle droit en prenant le rapport de ce nombre de degrés, minutes et secondes à 90 degrés ; il faut avoir soin, bien entendu, d'évaluer les deux angles en unités de même espèce, soit en degrés, soit en minutes» ?oit en secondes. Ainsi, comme 36'*i5'2i'' valenti3o52i secondes, et que 90 degrés renferment 324000 secondes, le rapport de

l'angle de 36° iS'ai'' à l'angle droit est exprimé par la fraction

--7 ou ^ -'