LIVRB VI. — LES POLYÈDRES

n" y p\ r\ g" les longueurs des mômes parallèles prolongées jusqu'au ])lan de la base A''B'C'D''E'. >,/*, v, tt, p étant les côtés AB, BC, CD, DE, EA de la section droite, on aura, par la formule (3 ),

( A -t- a - f- V -+- Tc -h p ) «•' =3 ^/' H- ^ m' -r- V /î

d\)ù, en retranchant,

or".

(a h- pt -+- V -+- tt -f- p) (^-. ^') = >(/•—/') -F pi (;/i*—w')-f-v(//" — /î')

Le second membre représente évidemment la somme des aires des faces latérales du tronc de prisme ; il doit donc en être de même du premier. Or, 00 premier membre est le produit du périmètre X-+-/A-HVH-7r4-pde ta section droite, par la portion g' — g' de la parallèle aux arêtes du prisme menée par G et comprise entre les plans A'B'C'D'E' et A''B''C''D''E".

THÉORÈME

720. Les centres de gravité des aires de toutes les sections planes d'un prisme sont situés sur une même parallèle aux arêtes de ce prisme.

Le théorème est évident pour le prisme triangulaire, car, lorsqu'on projette obliquement ou orthogonalement un triangle sur un plan, chaque nuViiane du triangle primitif a pour projection une médiane du nouveau triangle.

Considérons actuellement un prisme quelconque ; soit ABCDE [fig, 892) pa section droite, qu'on a décomposée en triangles en joignant aux divers ôoinmols un point quelconque 0 de son plan ; soit P le plan d'une section (|uelronquo incliné d'un angle a sur le plan de la section droite. Conservons toutes les notations du n** 716, et désignons par A', B',C', D',E',0', (f'.G',,G'„G',,G\,G\ les points où les arôtes du prisme et les parallèles a it's arêtes menées par les points 0, G, G,, G,, G3, G^, Gj rencontrent U» plan P. G étant le centre de gravité de la section droite, on a

i't, par suite, en multipliant par cos ce,

7 cosa»g — 7, cos a ./f , H- 7, cos Ct,g^

-^ y^COSx.g, -t- 7,cos X. o'^ -f- 7iC0Sa.^'^.

Mais les points G',, G',, G',, G',. G'^ sont, d'après le premier alinéa, les Cintre^ de gravité des triangles O'A'B', O'B'C/, O'C'D', O'D'E', O'E'A', dent se compose la section par le plan P, et 7, cos a, 7,cos«, 7, cos a,

> GÉOUeTBlE DIHS l'eSPACB.

D3a, 7^cosa sont(706) les airesde ces irîangles prises avec le Eàgnele signe — , suivant que ces triangles sont additifs ou soustracîic la dernière relation exprime que le point Gesl le centre de gniiï a section oblique.

il. Le thi5orème correspondant sur les centres de gravité des pr"rei des diverses sections planesd'un prisme n'est pas vrai. Lacecirr^ périmètres des sections faites par une série de plans parallèles si'-'' I situés sur une même droite parallèle aux arêtes, mais cette dn.'i!< léplace lorsque l'inclinaison de la série des plans parallèles vieni t

THËORÈMB.

B, Le-volume d'un tronc de prisme quelconque est égal au proàia ''aire de la section droite par la dislance des centres de graritè d-

ans le cas où la section droite est l'une des deux bases du tronc. > irème résulte immédiatement de ce qui a été dit aux n°* 716 et Tij etiet, on a vu au a" 716 qu'en désignant par V le volume d'un pari '■ ic, par 7 l'aire de la section droite, et par jf la parallèle ausar«t«id^ me menée par le centre de gravité de cette section droite yaip' tre base, on avait V = g.-/, et l'on sait, d'après le q" 720, que relie ite g réunit les centres de gravité des deux bases. onsidérons actuellement un prisme dont les arêtes soient obliques w jases A'BC'D'E' et A'B'C"D°E' [fg. SgS). Désignons par V sonT> e, menons une section droite ABCUE au-dessus des deux bases, eup ins S, V, V l'aire de celle section et les volumes des deux iraocipris entre cette section et chacune des deux bases priraitived. Si 'i'^ irve que les centres de gravité G, G', G' de la section droite cl iti % bases sont sur une même parallèle aux arêtes, on a