MÉTHODB FONDÉE SUR LA PROJECTION CENTRALE

725. Quand deux figures planes sont la perspective (586) Tune de l'autre, certaines propriétés de la première figure conviennent encore à la seconde; on qualifie de projectiles les propriétés qui se conservent ainsi en projection.

Toutes les propriétés descriptives sont projeclives; car, si plusieurs points sont on ligne droite, leurs projections sont en ligne droite, et, quand plusieurs droites concourent en un même point, leurs projections passent pur la projection de ce point.

11 n'en est pas de même des relations métriques. Quelqucô-unes, comme la proportion harmonique, sont projeclives; mais la plupart, môme les plus simples, ne le sont pas. Ainsi, l'égalité entre les deux segments d*uno ligne droite n'est projective que dans le cas très-particulier où il y a parallélisme, soit entre les projetantes, soit entre la droite considérée et sa projection.

Pour démontrer sur une figure donnée une propriété que l'on sait être projective f il suffit de prouver que la propriété a lieu pour Vune quel' conque des projections de cette figure. L'application de ce principe évident constitue un moyen de recherche connu sous le nom de méthode par projection, et qui est de beaucoup le plus fécond parmi les procédés qui reposent sur Tintervention de la Géométrie de l'espace dans les questions de Géométrie plane.

%8 UËONËTUIB DANS l'eSPACB.

Toutefois, comme on na fail ainsi que ramener un problème à un itre, il importe de choisir le centre et le plan de projectioD, de Taçon je la nouvelle figure offre des circonstances plus propres à la rerhcrch ■ j'on a en vue. Pour obtenir une projertinn plus simple rfiie la ^s"" •oposée, on projette ortlinairemcnt cclle-ri de telle sorte i/u'un de %e< linls ou une de ses droili-s passe à l'infini dans la projection. Il iv&: ridemmeni pour cela que le plan de projection soit parallèle, dans Ir remier ras à la projetante du point considi^ré, et dans le sec«nd cas un an projetant de la droite qu'on veut rejeter i l'infini. C'est ainsi qu .■■ . •tmlrilatén- complet donne un pandlélngramme, quand on projette si.i 'I plan parnllèle ît celui qui passe pur le centre S de fin^jection et /ynr une de ses irais diagonales; et même, comme l'un des angles de ce f'<ilUélogramme est égal h celui sous lequel on voit du point S la diagonal ' >nsidérée, on peut, par un choix convenable du centre S, donner •la irallélogramme obtenu un angle de (elle grandeur qu'on voudra (entre ko et i8o degrés).

726. Nuus allons appliquer la méthode par projection à trois Ihéorënws, éjà démontrés d'une autre manière [319,326, 327).

i" Diins lin /puiilrîldtère tomplet \^DEt', c/iai/iie dr/igoiiale AC "' iviièe Imrmoniipieiiient par les deux autres BD et EF (fig. ao(>). En rejetant de façon à rejeter la projection de RF â l'inrini, un obtient uu arallélc^rammo abcd dans lequel la propriété énoncée est évidente : or i droite ac, étant rencontrée par M en son milieu et par la troisi''nie iagonale à l'intini, se ttouve divisée barmoniquement (333).

■1° Quand deux triangles ABC, A'B'C sont tels que leurs côtés huin-^ •gucs se coupent deux à deux en trois pointf a, p, 7, situes en l-s^n mile, les droites qui joignent les sommets hoinolngues concourent en u,i téme point 0 [fis- an)- En projetant la figure de façon que la proJedLin e la droite 3{3y passe à l'inlîni, on est ramené i démontrer la m<^ii<' ropriété pour deux triangles »^, <i'6V', ayant leurs cdti's homulugi;i> arallèles; or, on sait que deux triangles de ca genre sont hommlié' ques (361 ).

3° Quand deux triangles ABC, A'B'C sont tels que les droites 71.-. lignent leurs sommets homologues concourent en un même point 0, le ilés linniologaes se coupent deux à deux en trois /nintt a, p, y, sititr-t n ligne droite [fig. 311}. En projetant la figure de façon que la droite ui joint les doux pointa a et ^ ait sa projection & l'infini, on obtient deux :iaTigles abc, a'b'c', qui, comme lus premiers, ont loLirs sommets liumoigues situés sur des rayons issus d'un même point 0 (projection de 0). lais i|ui ont en outre deux couples cb pi c'b', en et c'a' de côtés lionioigues parallèles; il sufGtalorsdu prouver le parallélisme de oA et dcui-'-

l3o GtOMiTBIE VAKS L'eSPàGE.

remplit les conditions prescrites dans la règle précéd«ite. On retrou\c ainsi la projecLivité du rapport anharmonique de qaatro points en Iil'i/ droite, ainsi que respressjon

gin CSA , ainnSA

sinCSB' BinUSli

du rapport anharmonique d'un faisceau de quatre droites SA, SB, £€,>!: GÏluées dans un même plan, qui ne dépend que des angles de cdroites, el qui n'exige pas la considération d'une tranSTersale auii-

Ajoutons que le rapport anharmonique de quatre plans A, B. C. D. passant par une même droite, est susceptible de l'expression analogue

. ^\ . -^ ainCA , sinDA

sinCB sinDB

dans laquelle la notation CA représente l'angle des plans C et A. Oiv remarque résulte de ce que le rapport antiarmonique d'nn faisceau •''■ quatre plans est égal à celui du faisceau des quatre droites suiratil 1e^ quelles ces plans sont coupés par un plan perpendiculaire à leur art'ir

PIGCHES nOUOLOGIQUES.

7S8. A la roéltiode par projection se rattache directement ]> théorie des figures homologiqucs qui est due à Poncelet, et qui se recommande k la fois par le rôle considérable qu'elle joue en Géomctin' pure, et par l'heureux parti qu'on peut en tirer en Géométrie dv-?criptive.

On dit que âeuxji^ares situées dans un même plan sont hoim^tgiiiart. i/iiami elles se correspondent point par point et droite par droite, de Irili sorte que deux /mints homologues quelconques soient en ligne drji't ai'cc an point fixe, et que deux droites Immologues qiielcom/ues it coupent sur une droite fi^c. Le point fixe prend le nom de centre d'humologie, et la droite fixe celui d'axe d'/tomolugie.

Des deux derniâres conditions énoncées dans la dénnition, il suQît qut l'une soit satisfaite pour que l'autre soit remplie; ainsi :

Deux figures sont bomologiques, si elles se i-orrespondent /mint jiar point et droite par droite, île façon que deux points homologues quelconques soient en ligne droite avec un point fixe.

Dcu.K figures so/a /lomologiqnes, si elles se eorresptutdent poini pur point et droite par droite, de façon que deux droites homrdogues qnrlconqaes se coupent sur une drwtt