LIVRE VI. — LES POLTfcDKES
Il suffit, en effet, de prouver que, si p est le point de concours d'un premier couple (AC, A'C) de droites homologues (fg. au), et y le point <ic concours d'un second couole ( AB, A'B'), le point de concours a iVxxn troisième couple quelconque ( DC, B'C) est situé sur la droite ^7. Or cela résulte du théorème démontré aux n** 336 , etc.
11 suffit, en effet, de prouver que, si 0 est le point d'intersection des druiteâ kk\ BB', qui joignent deux premiers couples ( A, A' ) (B, B' ) de points homologues, la droiie CC' qui unit un troisième couple quelconque (C, C) passe par 0. Or cela résulte du théorème démontré aux n** 327 , etc.
C'est en projetant sur un plan quelconque P deux figures bomothétiques situées dans un autre plan Q, que Puncelet [Traité des propriétés projectives. Section III, Chapitre 1) est arrivé à la notion des figures horoologiques. Il est évident, en effet, que dans les deux nouvelles figures la droite qui joint deux points homologues quelconques passe par la perspective du centre de similitude des figures primitives, et que deux droites homologues quelconques provenant de la perspective de deux droites parallèles ont leur point de concours (588) sur la ligne de fuite du plan Q.
7:^. La transformée homologique F' d'une figure P est déterminée [ftg. 396) dès qu'on donne, outre ce centre 0 et l'axe X d'homologie, le f>oint a\ homologue d'un premier point a de la figure F; car, pour obtenir l'homologue ni d'un point quelconque m de la figure F, il suffit alors de déterminer le point c où la droite am coupe Taxe X d'homologie, et do prendre l'intersection m' du rayon 0/n avec la droite a's homologue de ac»
FiR. 396.
be.
Souvent, le centre on l'axe dliomologie sont hors des limites de la fouitlé do dessin, et il faut savoir trouver Thomologue m* d*un point quelconque m de la première figure en n'employant que le centre d'homo-
■ Si UGOMËTRIE D*KS L'tSPÀGK.
logie 0 et deux couples de droites correspouduntee, ou bico que l'ai' d'homologie et deux couples de points correspeDdants. Voici la matcbe qu'on suit.
1° Soient L/fy, 397) 0 le centre d'homnlo^ie, et {"/», o'f/), (oif,n-i deux couples de droites homologues. A l'aide de deux rayons quriconques 066', Occ', menés par 0, on déterminera un troisît^me coay'-' (bc, b'c'] de droites homologues; le point g commun à am atk he ilf pour homologue le point g' commun k b'c' et au rayon Og, et «'g* hotn':loguB de ag rencontrera Om au point cherché m'.
2° Soient (j%. SgS) X l'axe d'homologie, et [a,ii') (i, f) deux cou pies de points corrcspondaols. En joignant au point a' le point a oii <'coupe l'axe d'homologie, on aura l'homologue de ta droite am; on v'.tiendra de m6me l'homologue b'^ de la droite bm\ l'homologue '"' >■ point m sera donc le point commun a n'a et â b'^.
fie. 198-
Nous devons faire remarquer que toutes ces constructions n'exijt;-:
que l'emploi de la rigte.
730. Il est évident ; 1° que toute droite passant par le centre d'Iiumvlogie se correspond à elle-même; 3° que le centre d'homologie ediav-. avec son homologue, ot qu'il partage cette propriété avec chacun Jrpoints de l'axe d'homologie.
Puisque deux droites homologues coupent l'axe d'homologie au imV:poiot, à la droite de l'iormi de la première Ugure F drit correspOD.r dans la seconde figure F' une droite J' parallèle à l'axe d'homotope: '. de mème,^ la droite de l'inrini de la figure F' répond dans la figure F ui: droite 1 parallèle à lave X ; lu droite 1 prend le nom de diviie Uauie l, la figure F, et la droite J' celui de •/miic limite de la Bgurc F.
Ilien de plus simple que de construire la Bgure P quand ou oonnaii '<■■
IIVRB VI. — LES POLYfcDRBS. '33
Ogure F, 8a droite limite I ainsi que le centre 0 et Taxe X rrhomologie; m étant \Jt^, 399) un point quelconque de F, on mènera par m uno
Fig. 399.
droite quelconque im\ on joindra le centre O au point / où cette droite coupe I, et par le point f où celte mAme droite coupe X on mènera la parallèle à 0/; cette parallèle, qui est évidemment l'homologue de la droite cm/, rencontrera le rayon Ow au point demandé m\ On lit immédiatement sur la figure la relation
Om^ Ow M im
d*où l'on déduit les deux formules
0//i' = Il — r?
mm tm
m m=^\jm — :»
mt
qui nous seront utiles plus tard. La seconde de ces formules a été donnée, vTï 1704, par le géomètre belge Le Poivre qui, comme de la Hire et Newton, avait étudié quelques cas particuliers de la transformation homologique, bien avant que Poncelet eût créé la théorie complète de ces fij^ures.
731. QiMnd deux figures sont homologiques : i^ le rapport anharmo* nique de quatre points en ligne droite, a, ^, c, </, est égal au rapport anltarmonique des quatre points homologues a\ b\ c\d \ car ces rapports sont égaux l'un et l'autre à celui du faisceau Oaa\ Obb\ Ocr', Odtl'y a" le rapport anharmonique d*un faisceau SA, SB, SC, SD de quatre if mites est égal au rapport anharmonique du faisceau formé par les quatre droites homologues S'A',S'B', S'C',S'D'; car les rayons homologues des deux faisceaux se croisant sur l'axe d'homologie, les rapports anharmoniques considérés sont égaux à celui de la section commune faite par Taxe d'homologie.
732. Considérons deux figures homologiques; soient ijrg, 396) 0 le centre et X l'axe d'homologie, (/?, a') et (m, m') deux couples de points
l34 GfiOSËTRIB DANS LissrACK.
homologues, net a lespoiiilâuù les rayons 0/»/»' et Oon' coupent l'a: el 1 le point de concours de am et do i^/»'. Le faisceau (lO, «a, (X, étant coupé par lesdeiii iransversales Oini»',Oaa\ on a
Le rapport anharmonique (Of""'"') a donc une valeai donne à cette constanle, que nous désignerons par 1, le nom de corffini:'-- ,nom,hs(,.
La réciproque de cette proposition est vraie, et elle conduit à une nivelle déiinition des figures liomologiquea :
Élaat donnés dans un plan un /loinl fixe 0 et une ilraite fixr \ {fis- ^9^)i '' ■'■"'■ r/w^Kt rajxin 0[i on prend deux points m et m' in ijae le rapport anliarmaniqae (Ofiwoi') ait une valeur eontlanîe ï, 'f
points m et ni' décrii>ent deux figures homologir/ues.
En effet, par la déBnilîon même, deux points homologuer quekcu- (;oas m et nï sont en ligne droite avec le point Qxe 0; il suffit dcr,' de prouver que, si le point ai décrit une droile m, le point m" décrit > son tour une droite coupant l'axe X au même point i que la première. O menons par le point 0 une droite quelconque, et désignons par a, i, u les points où elle rencontre les droites im, iX, tni': te faisceau (lO, i'" tX, tni') étant coupé par les deux transversales O;*, Ox, les rspporLanbarmoniques (O^mm') (Oxnn') seront égaux; le second aura du): comme le premier la valeur X; donc le point a*, qui est ailiié sur tm. sera la position que prend m' quand m vient en a.
La conilanle )k est égale an rapftorl des dislances de la droile ùmile \ au centre et à l'axe d'homniogie. Car, pn désignant par e et 7 let fff ■ jeclioDS orthdgoDales du centre 0 sur les droites 1 el X, el appliquant le théorème précédent au système formé par les quatre pointa 0, 7, c et f . le dernier étant à l'inQni, on a
On voit de même que le rapport des distances de la droite limilc i' ; '
centre el à l'axe d'homologie est égal à r-
Quand la constanle 1 est égale à ~ 1, les deux droites limites coïn'':' dent avec la droite unique qui est équidisUmte du centre et de l'^ti! d'homologie ; ce genre particulier d'homologie prend le nom d'^moit^" harmonique.
LIVSE Tl. — LES POLTBDBM. t35
Quand l'aie d'homologie est à l'infini, le rapport aabannoiiique {0(*mm'] se réduit i -7- , et la relation
montre quo Vhamohgie devient hamai/iélie ; le point 0 est le centre de siniiliiude, et 1 est.ie rapport de similitude.
Enfin, si c'est au contraire le centre d'homologie qui est à l'infini, le
rapport anharmonique (Ofxmm'} se réduit à — -1 et la relation
montre que la seconde figure résulte de la première en ililattint dans un rapport constant les onlonnées abaissées de ses divers points sur l'axe 6j[e X dans une direction donnée; quelques géomètres donnent i ce ^□re d'homologie, qui se présente fréquemment, le nom HaJJiniti,
733. Nous terminerons par nn théorème très important tant au point do vue théorique qu'au point de vue des applications: d'une pari, il montre la concordance entre l'homologie et la perspective ; d'autre part, 11 intervient fort utilement, on géométrie descriptive, pour la solution du problème des rabattements et des questions relatives aux sections planes des prismes et des pyramides, des cènes et des cylindres.
(}uand lieux figiiret planes F et F' sont en perspective, leurs pjvjeetioiis sur un plan quelconque U, à l'aide d'an centre de projection quelconque u, tant deux fguret homologiques ; le centre d'homologie est la projection o du point de vue V, et l'are d'homologie est la projection Ut de l'intersection LLi des plans P et P' des deux figuret.
La démonstration est presque intuitive :
En effet : d'al>ord, â chaqno point m de la (ïgure / répond évidemment un point unique /»' do la ligure/, et la droite mm' passe par a puisque les points correspondants M et M' des figures F et F' sont en ligne droite avec V. En second lieu, à nne droite quelconque d do la Ttgnre/ répond évidemment une droite et une seule if delà figure/*, et le point de concours de dti\A.tsd est sur Ux puisque les droites correspondantes D et D* des figures F et F* se croisent sur LLf
La réciproque exige plus d'attention :
Deuxfigureshomologiquesf et f peuvent , d'une inanité de manières, être contidiréM comme la projection sur leur plan H de deux Jîgur^ planes V et F' qui sont en perspective (fg, 400).
GftOXÉTRIE DANS L ES PACK.
Eu effet, soit ot un point pris à volonté dans l'c^iiati.-, et o le c«i>lr< d'Iiomologie de/et de/'; dans le plan Q déterminé par tu el par l'di' d'Iiomologio lU des figures/ 61/*, chuisissong arbilraircmont unedrui:<' LLi ; imaginons par cette droite deux plans I' et P' el appeioDS G et (< tes points où ces plans coupent la drail« aïo. Enôn, désignons Te^i*cUvcment par K et F' les figures <]u'on obtient en projetant, du point comme centre, los Ogurcs/et/', la première sur le plan P, la secoo': sur le plan P'. Tout se réduit à démontrer que les -Rguros F et F' w:.
Us- 4oo.
en perspective; en d'autres icrniPs.siM el M' sont les points de ftli situés sur les projetantes lom. mm' de deux points homologue» qu<-> conques m el m' de / el de/', il suffit do prouver que la droite H.M' pipar un point fi\e. Or, soil gx le point où mm' coupe U,, |i, le point >• uj;x coupe LL, el I et V les points où MM' rencontre ui[i et uo. Le n\port anharmonique de la division [lomm'est constant elégal au rspp"' d'homologie des figures /et/'; mais ce rapport enharmonique est i^-; a celui de la division IVMM' et, par suite, égal aussi à celui de la division w VGG' qu'on obtient en projetant la précédente du point pi, sur "n Daillcurs, les points (u, G et G' sonl fixes; donc il en est de même Ji point V. c.o.F.D.
Un cas particulier inléressant est celui où F et F' sont deu\ [losiiiour d'une même Ggure qui tourne autour d'une droite de son plan; dan^ ^v cas, F el F' sonl, en effet, en perspective, le point do vue V étant à l'w Gni dans la direction perpendiculaire au plan bissecteur du dièdre forw par les plans de F et de F'. Enfin, si l'on choisit alors pour plan de p^'jection le plan de la figure F', /' ne dilTérera pas de F' ; ce qui mooiri que la projection f d'une figure F et ton rabattemenl ¥' tant ham-Je-
giquer,e,
- LIS cotiFS Ronna.
