AMH < AE + EF + FG + 01+ IB
Or, si l'on fait tendre vers zéro les côtés du polygone inscnile second membre a pour limite (a") la longueur de l'arc -iv courbe AGB. Donc l'arc de grand cercle AMB est moindre que toute autre courbe sphérique allant de A en B : c'est le plus court chemin du point A au point B sur la sphère.
D'après cela, on appelle distance sp/iérique de deux poioii A et B d'une sphère la longueur de l'arc de grand cercU' moindre qu'une demi-circonrôrence qui unit ces deux potnLv
TBËORÈME.
Sn.Pourtju'u/igniml tcrrle soîl perpe/tiiicalaireàan/ietitcrrtlrXVS il faut ef il aafft qur le grand cercle />asse par les pôles 9 et V du prit cercle {/g. iif>).
En d'autres termes, si l'on désigne par 0 le centre de la sphèrr r: refpeclivement, par MS et par HT les tangentes au grand cercle « a" pelil cercle au point commun M, pour que l'angle SMT soit droit, il bui et il EufGl que les plans OMS, MPP' coïncident.
En effet, le plan UFF est perpendiculaire ft UT, puisqu'il ooolieai deui
LIVRI TH. — LES COHI-S RONDS. lOI
ilroites OM et PP' qui sont à angle droit sur UT. Donc, si l'angle SUT est droit, US est dans le planilPP' qui, parsuile, coïncide avec le plan OMS. Inversement, si les plans OMS, UPP" coïncident, la droite MS conlenue dans le plan MP[>'est i angle droil sur la porpon dieu lai re MT à ce plun.
COROLUIRES.
813. Par un point 0 fie lii\p/icrr, ml /icul iiiciier un grand cercle per- /lenttkiilta're à un cercle donné \Q et l'on ne (jeut en mener qu'un : c'est la grand cercle OPI'P'I qui passe par le poinl Cet par les pôles Pet P' du cercle AB (/;?.444).
Il y aurait loutefuis iDdéterminalion si le point 0 coïncidait avec l'un des pAles P el P'.
En laissant da cùté ce cas singulier, on voit que, du poinl 0, on peut mener deux o/r^de grand cercle, OletOPI', normaux i) un cercle donné AB.
TIIËOIIÈME.
ttl9. S, it'un point 0 it'aiie sp/ière, o,t i. ftlits prtil, 01, des deux ares rie graatl cercle ..•,, il.- grand eenleoùliqucs OC, 0^, OE l fig. 444);
Fie. M-
un cercle AB, le cl pliiiieurt arcs
1 ' L'arc perpendieidaire 01 est moindre que tout arc oùlique OC ;
1* Deux arcs obliques, OC et OE, dont les pieds C « E sont cqiddisMnts du pied 1 de l'ure normal, sont égaiu: ;
3» De deux nrcs obliques, OC el OD, ou OE et OD, celui dont le pied t'rcnrie le plus du pied 1 de l'arc normal est le plus long.
En elTet, le cercle AB divise la sphère en doux cjloltes dont l'une contirnl le point 0; soit P le pâle do AB qui est situé dans cette calotte; menons les arcs de grand cercle PC, PD, et désignons par K l'interscclioa An arcs OD et PC.
I* Dans le triangle fphérique POC, on a
