LIVRE TH. — LES COBPS BONDS

opposé, et les cAlés qui comprenneni cel angle sont des quadrants. Dans le triangle sphérique trirectangle, tous les côtés sont des quadrants ; le triangle trirectangle est le huitième de la sphère sur laquelle il est tracé : on le voit immédiatement en prolongeant les arcs de grand cercle qui Torment les côtés du triangle.

TIIËORËUB.

814. Deux triangles tphérigues tracés sur la même sphère ou sur des sphères égales sont égaux dans toutes leurs parties : t" lorsqu'ils ont un côté égal adjacent à deux an^^les égaux chacun à chacun; a" lorsqu'ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun; 3" lorsqu'ils ont les côtés égaux chacun à chacun ; 4° lorsqu'ils ont les angles égaux chacun à chacun. — Dans tous les cas, ils sont égaux ou symétriques, suivant que la disposition des éléments donnésest la même ou est inverse.

Ce tlicorème est une conséquence des propriétés analogues (577, 578) des angles triédres. On peut aussi le démontrer directement.

Supposons d'abord que la disposition des éléments soit la même dans les deux triangles, on démontrera régallié pour les trois premiers cas en raisonnant comme au ii" 32 de ta Géométrie plane. Quant au quatrième cas, il résulte du troisième par la considération du triangle polaire (810). Itemnr-quons, (.-n outre, que les deux premiers cas sont aussi corrélailTs l'un de Vautre.

Si la disposilion des éléments donnés est inverse, le premier triangle cl le symétrique du second présenieroiu la même disposition : ils seront donc égaux en vertu des données; par suite, les triangles proposés seront symétriques.

ScOLtE.

815. Un trièdre, dont le sommet est placé au centre de deux spliéres concentriques, détermine évidemment surces sphères deux triangles sphériques dont les angles sont rcspeciivement égaux et les cAtés proportionnels (296). Deux triangles sphériques de cette nature som dila semblables.

n. et ec C — Tr. da Ciom. (If Partis}. la

178 «ÉOMËTRIB SâHS L'BSrACB.

THÉORÈME

816. Le p!ui court chemin d'un point à un autre sur ta «!i^ face de la tphère est l'arc de grand cercle, moindre qu'une demi-circonférence, gui joint ces deux points.

i* Il Taui, avanitout, définir la longtieur d'unarcdecoarht gauche, c'est-à-dire doni tous les points ne sont pas dilues dans un même pian. Cette longueur se déûnit comme cello d'un arc de courbe plane- C'est la limite du périmètre d'une ligne brisée qui est inscrite dans cet arc et dont les côUt tendent vers zéro.

NouB allons prouver que cette limite existe et qu'elle est unique, c'est-»dire iodépendanle de la loi Butvsnt laquelle on Tail tendre vers léro Ips divers côtés de la ligne brisée.

Soient {fig. 440 AB un arc de courbe gaocbe, aà sa proJecLJon orthogonale sur un plan quelconque P, H un point quelconque de AB et m 1* projection de ce puint. Dans un plan pris à volonté, menons une drotiLi indéfinie x,/^, [Jîg. 44a)et prenonsearcetledroite, à partlrd'un pointa,, une longueur a,/», égale à la longueur de l'arc am; puis, au point m,, élevons sur :r,/, la perpendiculaire ni, M, égale à la projetante liai. A tout point H de la courbe AB répondra ainsi un point U, et, lorsque l« point M décrira l'arc AB, le point H, décrira un arc de courbe plane A, B„ dont nous désignerons la longueur par /.

Fis- 44'-

Hz- 4iï-

Cela posé, soient AUNRB une ligne brisée quelconque iucrite Am l'arc AB et amrtrh, A,H,N,B,B, les lignes brisées correspondanlM inscrites dans la projection ab et dans la ligne plane A,B,. La valeur du rapport

AH-+-MN-i-NB-i-RB

A,W,-t-M,N,-KN,B,-i-E,B.

LIYHB VII. — LES COIFS ROKDS. I'

osl comprise enlre les valeurs de deui des rapports

. AM UN m un

A,U,' M,N,' N,U;' lt,U,'

Pat suite, si l'on peut prouver que chacun de ces rapporte a l'an pour liroile, il en sera do même du rapport (i);et, comme le dénomîi leur de ce rapport a pour limile la quantité bien définie /, quelle que S la loi suivant laquelle les câtés de la ligne brisée AUNRB tendent vi zéro (291), son numérateur aura aussi / pour limite, quelle que a cette loi.

Prenons donc l'un quelconque des rapports (a), ^r-u P^r exemp

Désignonspar Jla diffénnce N/i — Hm, ou son égale N,n, — M,m,. carré du raf^rt considéré aura pour expression

K carré est donc comprise enlre et T, ou I.

Hais, m, n, étant la longueur de l'arc de courbe plane dont mn est la cori 'c rapport a l'uniié pour limite (Î92} quand m, n, tend vers lé

La limite de y-rr est donc égale k i ,

a" La longueur d'un arc de couine sphérique fst égale A limile du périmètre d'une ligne brisée sphérique qui est i scrile dans cet arc et dont les côtés tendent vers zéro.

En elTel. soient AGB (A^. 4^3) un arc de courbequelconq

Fig. 441.

tracé sur la sphère, et AEFGIB une ligne brisée sphérique : scrile dans cet arc, c'esi-à-dire une ligne fortnée de portlo d*8rcs de grands cercles, autant ses extrémités en A et en B ses sommets Iniermcdialrcs situés sur l'arc de courbe AG

l8o GtOMËTIIIE DAKS l'BSPACU.

Si les arcs de grands cercles, dont la longueur de li lir'ne Ijrîsée sphérique esi la somme, lendeniséparémeni vers zéru, suivant une loi d'ailleurs quclconr]U(>, le rapport de chacun de ces arcs à sa corde aura l'uni lé pour limite. Il en sera donc de même du rapport de la longueur de la ligne brisée a \i somme des cordes. El, comme [i") la somme des coriles i pour limite la longueur de l'arc de courbe AGB, on voit q»c la longueur de la ligne brisée sphérique Inscrite dans Tare iV courbe quelconque AGB a aussi pour limite la longueur d cei arc.

3" 11 est maintenant irès-facile de trouver le plus couri rhemin entre deux points A et B sur la surface de la spbèri

ifg- 443).

Soient AMB l'arc de grand cercle, moindre qu'une deimcirconférence, qui unit les points A et B, et AGB iw courbe spliérique quelconque tracée entre ces deux poini: AEFGIB étant une portion de polygone sphérique inscrit, dans cette courbe, on aura (803)