Voici encore deux remarquer imporlaolcs

l' Dans tout II iangle sphérique rectangle, le nouiùre eles cités t^J ■■

l84 GÉOMËTRIE DANS L'ESPàCB.

du premier est inlérieur au second, et alors tout point do second est nliSrieur au premier.

Cela pos^.soienlRetrles rayons sphériques do deuxpelilscercl*^, elD la dislcince sphériqne de leurs pâles. Lequart d'un grand cercle étant pria pour tinfté, U et rsont moindres qua i et D est inférieur à a. Si Ut rrrcla soni cxtèneurs, on a D > R -i- r ; ù les cercles sn/tl langent. t eTt^ricartmeml, onoD = R-)-r-, Il (m cerr^î Jc cnd/wrn/, on a à la fois B-t-r>D>R — r; ,<i le cercle r Imiclie intêrieurenicni le cenle R, on a D = R — r; enfin. ti le cercle r est intérieur au cercle R, on a D < R — r. Les réciproques sont vraies.

THÉORÈME

821. Le lieu des sommets ilcs triangles sphériqiies, qui ont une batt commune DE et dans lesquels ta iliffi-rencc entre l'angle nu sommet et Li somme tics angles à la base est ronstante en valeur absntug, se eumpose lie dciii petits cercles passant par les /loinis D et E et symétriques par rapport au plan DEA ilu grand cercle DE.

En effet, C étant un point pris arbitrairement sur la spbëre et P étant le pôle du cercle circonscrit au triangle sphi^riquo CDE, désignons mpectivemonl par 7, S, t les valeurs dos angles é la base dans les trtin;;<s isix-Ëles PCD, PDE, PEC. Si le pôle P est â l'intérieur du triangle DEC (commo dans la fig. 446 )< on a

D + E - C = ( J -h V ) -.- f 5 -M 1 - (7 -f- < ) = a J ; si r est extérieur au triangio DEC, mais situé du même cdl4 que C p*r rapport au grand cercle DE, on a

D + E-C= (J-,-7) + (J-,)(7,) = aJ, ou

enfin, si Pet C sont de part et d'antre du grand cercle DE, on a

D + E C = (7 - .r) + |. —T) - (7 + .) = - arf.

Il résulte de là que, si le point C se déplace de Tacon que la différence (D-i-E) — C reste constante en valeur absolue, l'anglefiei, par suite, lu triangle isocèle DPE restent invariables do grondeur; en sorte que le point P ne peut avoir que deux positions, qui sont symétriques par n;^ port ou plan DEA. Le lieu du sommet C se compose donc du cercle décrit du point P comme pûle avec PD pour rayon et du cercle symétriqtw par rapport au plan DË.i.

Lorsque la diiTérence [D -4- E) — Cest donnée à la fois en grandeur ri en signe, il faut prendre seulement sur chacun de ces doux cercles Parc qui est situé par rapport au plan DEA du même cOté que son pAle ai la différence est positive, et nu contraire l'autre arc si la différence est négaltie-

LITRE TH. — LtS CORPS RONDS. IO>

Quand la différonce {D + E) ~ C est nulle, S est aussi nul; les deux points P coïncident avec le milieu de DE, et le lieu est le cercle décrit sur DE comme diamètre dans un plan perpendiculaire au plan DEA.

Ce théorème est l'analogue do celui du n" 13{ de la Génméirie /il/ine.

En effet, lorsque, dans un triangle rcctîligne CDE, on donne l'angle C,

on donne par cela même la différence D + E — C.

PRODLËUE.