Tracer sur la sphère un grand cercle postant par deux
points donnés K et h (fig. 4i7)'
L'Inconnue de la (|ue&Iion est le p6le du cercle demandé. Or la distance de ce pdie P à chacun des points A et B est égale â la corde du quadrant (780); on l'obtiendra donc en décrivant successivement deux arcs de cercles, des points A et B comme pôles, avec une distance polaire égale à la cordo du quadrant.
Fig. 446. Fis 4'.7- Fie. 118.
PROBLÈME
826. Mener pnr un point donné A sur la sphère un arc de grand cercle perpendiculaire à un grand cercle donné BP ijig- 448)-
L'inconnue de la question est le pôle du cercle demandé. Or ce polo P doit se trouver sur le cercle BP (797), et être Ji une distance du point A égale à la corde du quadrant. On l'obtiendra donc en décrivant, du point A comme pôle, avec une distance polaire égale ii la corde du quadrant, un arc de cercle qui rencontre en P le cercle donne BP.
PROBLÈME
827. Mener un arc de gmnd icrcle perpendiculaire tur un arc de grand tertle donné AD, tn ion miliiu ; ou, diviser un are de grand cercle AD en deux parties égalet\Jîg. 4^9).
UsuITit de décrire des points A etD comme pôles, avec lamËmeouvcr-
lob atovïTiiit DARS l'espace.
lure de compaS) deux arcs qui se coupent en CetD; puis, de bire passer
UD grand cercle par C et D.
Remarquons que ce grand cercle CD divise aussi en deux parties égaler loua les arcB de peLit cercle dont les exlrémités sont A et B.
nu- -(b-
Fis- iSo.
PROBLÈUE.
838. Troaitr le pôle iTun petit cercle pastant par troit pointt donné' A, B, C, sur la sphère IJig. 45o).
Ce pAle P, éUnt équidisUnt de A, B, C, est i l'iaterseclion des iro de grand cercle élevés perpendiculairement sur les milieux des aru d« grand cercle ABct BC (827).
Le pôle P une Tels connu, on tracera le petit cercle avec une ouverture de compas égale à PA.
PBOBLÈHB.
829. Par an point A donné sur la sphère, mener un grand trrrle fallait un angle donné avec un grand cercle donaéXi&O' {J!g. 43i)-
Soit P celui des deux pAlea du grand cercle donné qui se trouve dans te mémo hémisphère que le point A, et soit a l'arc de grand cercle qui mesure l'angle donné, lequel peut toujours être supposé aigu.
Le pdie Q du cercle inconnu doit se trouver sur le grand cercle EE* dont A est le pdle, puisque legrandcercledemandépasseparA.LepAleO
MTHB VII. — IIS COm ROKDS. IO7
doit iDEBi appartenir su pelilcorcle dèuritOupoinLP comme pAlc avec un rayon spbérique égal i «, puisque ce pelit cercle est le lien des pôles des grands cercles qui coupent, eous l'angle donn^, le grand cercle DBD' (790).
On décrira donc deui cercles, l'un du point A comme pôle avec une ouverture de compas égale à la corde du quadrant, l'autre du point P comme pâle avec une ouverture de compas égale i \i corde de l'arc a. Tout point commun Q à ces deui cercles sera le pAle d'un grand cercle satisfaisant à la question proposée.
Pour que le problème soit possible, c'est-â-dire pour que les cercles auxiliaires se coupent, il faut et il sufTil, puisque l'angle donné est aigu, que l'on ait
PO>PI ou a>J,
en désignant par 3 la distance sphérique AD du point donné A au grand cercle donné DED".
Lorsque le point A est sur le grand cercle donné DED', le grand cercle BE' passe par P, et il sufQt, pour avoir le point Q, de porter sur le grand cercle EPS', à partir de P, une ouverture de compas égale à la corde de l'arc a.
PROBLÈME
830. Construire nn trîanijle sp/iérir/iic reilan^tc, conruiissaiil : l' un rAté lie l'angle itmil et l'hjr//oténiise ; a" an angle et le calé o/j/w.tie,
I* Après avoir tracé Ifig. iS% ) Jeux grands cercles perpendiculaires l'un i l'autre, c'est-à^lire deux grands cercles DAD', EAE', tels que le
Fig. 4Sï.
pAle lie l'un soit sur l'autre, on portera sur l'un d'eux DD', à partir du point commun A, on arc AC égal au c6té donnée; puis, du point C comme l>6le, avec un rayon aphérique égal à Thypoiénuso donnée a, on décrira un CJ^rcle BO' qui coupera le grand cercle El£' en deux points symétriques par rapport & DCD' ; en menant les arcs de grands cercles CB, CB', on aura
8 GtomeTRiB nMK l'bspagb.
IX triangles ephériques symélriques BAC, B'AC, qui répondent à la
9slion proposée.
?our que le problème aoit possible, il faut el il Euflil que le nombre a
i mesure l'hypolénuso soit compris entre les nombres fret 3 — t qui
surenl les distanres sphériques minimum et maximum du point C an
ind cercle EE'.
»*0n commencera par tracer deux grands cercles BAB',BCB'(/^|Ç. 453 j
Fis- 4SJ.
janl enlre eui l'angle donné fi ; soit P le p6le du premier el EPE' le ind ceicle qui est perpendiculaire à la fois sur BAB' et fiCB'; le proime se réduit à mener un grand cercle, porpendirulaire à BAB", c'estlire pa-sant par P, et td que la partie CA, interceptée dans le TuluBEB'D, soit égale au calé donné 6. Or PC seraégal alorsà i - 6. On :rira donc du point P, avec un rayon sph(^rique égal à i — fr, un cercle i coupera BDB' en deux points ; C étant l'un quelconque de ces poinl», triangle BCA salisrera à la question , ainsi que le triangle B'CA. La condition de possibilité consiste dans l'inégalité
PC>PD ou i-6>i-ri,
Kots avons supposé l'angle Baigu; s'il était obtus, on aurait
PC^-i-i, PD = B-i,
la condition de possibilili^ serait A> B.
PBOBLËMR.
B3I. Cimstruiie un triangle s/'/irriqiie, connaissant trois ifuelcunjm-f ses six l'Iêinenls (angles ou côtés).
Ce problème offre six cas dislincU; on [wiit donner ; 1° les trois oàU-i
LIVai »II, — LïS COIH B0<iD5. i8g
ou les trois angles; 3* deux citléa et l'ao^^le compris, ou un côté el lei deux anglea adjacenU; 3* deux cAUs et l'angle opposé à I'od d'eux, ou iti'ux an^cs et ii côlé opiwHê à l'un d'iui.
\ktnf ceUe inuméralion, nous avons réuni chaque fuis les deux cas coi^ réialils. c'csl-à-dire qui se ramèneoi l'un à l'autre par la considération du triangle polaire. Il n'y a donc que trois cas à traiter direclcioenl.
I* On <lannc In trois côlft a, b, e.
Supposons, pour Gxer les idécî', n > 6 > r.
Pour que le prubléme soit possible, il IdUt (803, 807 ) que l'un ail à lu
[ois
Ces coDditioai sont suffisaules. En effet, sur un grand cercle ÏIM' de la sphère, prenons un arc DUC égal à a {fg. J5J ); du point B comme pèle, avec une ouverture de compas égale i la corde do l'arc c, décrivons un
■rc de cercle DD' et, du point C comme pdlr, a\ec une uuveilure de compas égale i la corde de l'arc b, décrivons un second arc de cercle EB'. Puisque l'arc DC est plus grand que chacun des arcs BD cl CE, les points D el E sont situés dans la portion BMC du ^rand cercle UM' el, comme BC est moindre que la somme BD -t- CB, les arcs BD et CE empiètent l'un sur l'autre : lepointE tombe donc entre B el D. D'ailleurs, \i tomme BD'-»-BC-t-CE' étant moindre qu'une circonrérence de grand cercle, lepointE' est situé sur l'arc CM'D' entre C el D'. Il réâuUe de ti que le point B et lepointE' sont, le premier intérieur, le second eiléricur k b calotte qui, déterminée par le cercle DD', b pour pdie B. L'arc EE', qui, par rapport t celle caloite, unit un point intérieur à un point extérieur, doit donc couper la base DD' de cotl« calotte en on oerlainpoint A, lequel est le iroisièina sommet du triangle demandé ABC.
Les cercles DD' et BE' se coupent en un second point A', sommet d tu tecond triangle A'BC, symétrique du premier.
çfo gSoxItbii sâkb l'espace.
Ainai, pour qu'on puiue construire tut triangle sphériijite ttpct iroU diés donnés, il faut et il suffit que le pliu grand raté soit mointUe que % somme des deux autres et que la somme des côtés soit inférieur* à ne circonférence de grand cercle.
Dans les appUcationa, il peut se Taire que l'une de ces cooditiona aoU emplie d'elle-même; il ne reste plus alora qu'è considérer l'autre. Par xcmplo, au n° 8i3, lorsqu'on cborche les conditions pour que doui etils cercles so coupent, on n'a pas ii Tiiiro inlervcnir la relation
arce que, d'après la manière dont D, n et r sont déGnis, cette relation st satisfaite d'elle-même.
Souvent, on Ignorn l'ordre relalir de grandeur des cAl^ donnés. Dsm e cas, on exprime que le plus grand côté est inrérieur i la somme àm eux autres, en écrivant que chaque cAlé est moindre que la somme àrs eux autres.
Pour qu'on puisse construire un triangle sp/iériqiie avec trois anglei 'onnés, il faut et il suffit que le plus petit angle augmenté de dnu 'roitt soit plus grand que la somme des deux autres et que ta tomme da rois angles soit supérieure à deux angles droits, car, en prenant lec snp- Jdmenls de ces angles comme eûtes, on peut construire le triangle luplémenlairo, d'où l'on déduit ensuite le triangle demandé par le tracé roiqué au n* BUE).
a" On donne deux edit's a et bel l'angle compris C.
Mémo solution qu'en Géométrie plane [US]-
3" On donne deux cités a et h et l'angle A opposé au calé a \J!g. 455).
Construisons aur la apliëre deux grands cercles Tormanl un angle égal
A (829). Prenons, i partir du sommet, sur l'un des câtés de cet angle, n arc AC égal à b, et du point C comme pûle, avec une ouverture et ompas égalo à la corde de a, décrivons un arc de cercle; B étant rinUrsction de ce cercle avec le second cdié de l'angle, le triangle ABC Ku ) triangle demandé.
La discussion de ce problème exige quelque attention. Fie- 45S.
■ Achevons le Tufeau A, el dn point C abaiasoQa l'arc CD perpendlenlaire sur l'autre cdté de l'angle. Dans le triangle (pbériqm rfc4aiif1*
