Voici deux applications numériques
i" Trouver, à moins d'un myriamètre carré, la surface du globe terrestre.
On sait, par la déliniiion du mèlre, que la cîrconrérence d'un grand cercle du globe renferme 4o millions de mètres ou
4ooo myriamètres; son diamètre est donc égal à et, par
suite [842), l'aire du globe est
à t ni.vriamètre carré près.
■X- L'aire d'une sphère est i mttre carré : quel est son rayon? La formule
47rK'=i donne R^-\/- = o",38a, i t millimètre près.
THÉORÈME
8(4. Deux triangles sphériquet symétriques hZC, A'B'C sont équivalents (Jig. 463) .
Prenons le pdIePdu petit cercle qui passerait par les points
300 GËOMËTillE DAHS L ESFICB.
A, B, C, el menons les arcs de grand cercle PA, PB, PC, qui sont égaux enire eux (780). Traçons le diamètre POP' el le» arcs de grand cercle P'A', P'B', P'C. L'égalité des angles POA, P'OA' entraîne celle des arcs PA et P'A'; on voit de même que PB = P'B', et ?€ = ?"€'; par suite, commePA = PB = PC. il faut qu'on ail P'A' = P'B' = P'C. D'après cela, les triangles PAB, P'A'B' sont symétriques el isocèles; ils soni donc superposables. De même, les triangles PAC, P'A'C soni égaux entre eux, ainsi que les triangles PBC, P'B'C Donc, enfin, le triangle ABC, somme de PAB, PAC et PBC. est équivalent au triangle A' B'C, somme de P'A'B', P'A'C et P'B'C.
Si le p61e P tombait â l'exlérieur du Iriangle ABC, ce triangle ne sérail plus une somme, mais une différence. Fie- m-
COROLLAIBB.
8i5. Si deux arcs de grand cercle \C' ^' , hC'B' te coupent dans un même hémisphère C'ABA'B', la somme des triangles opposés ACB, A'CB' est égale au fuseau dont l'angle esi ACBiJig.m)-
On nomme fuseau la portion de surface sphérique comprise entre deux demi-grands cercles CAC, CBC, qui se terminent à un diamètre commun COC; l'angle ACB ou ACB de ces deux arcs esi dit Vangle du fuseau.
Cela étant, le fuseau compris entre CAC et CBC se compose du triangle ABC et du triangle ABC; el, comme le iriaogle A'B'C est évidemment le symétrique de ABC et que deux triangleâ symétriques sont équivalents, on voit que le fuseau dont l'angle est C est égal à la somme des triangles opposés ACB, A'CB'.
846. Si l'on prend pour unilé d'angle l'angle droit et pour unité d'aire l'aire du triangle trirectan^le, un fuseau a pour mesure le double du nombre qui mesure son angle.
On voîl immédiaiemenl que, sur la même tplière ou sur des sphères égales : i° deux fuseaux de même angle sont superposables; 1' un fuseau est égal à la somme de deux autres, si son angle est égal à la somme des angles de ces deux autres.
Il réstillc (le Ih (l" Partie, Note I) que deux fuseaux quelconquesd'une même sphère sont entre eux comme leurs angles.
Cela élani, soient A et A' les nombres qui mesurent les angles de deux Tuseaux d'une même sphère, l'angle droit êlanl pris pour unilé; et soient F et F' les nombres qui mesurent ces fuseaux, lo triangle trirectangle (813) étant pris pour unité d'aire; on aura
Prenons A' = i ; le fuseau correspondant, ayant son angle droit, sera égal au quart de la spbère, c'est-à-dire au double du ii'ian(jle trirectangle : on aura donc F' ^= a. et, par suilc,
- = -, d'où F=:2A.
THÉORÈME
8i7. Si l'on prend l'angle droit pour unité d'angle et le
triangle trirectangle pour unité d'aire, l'aire d'un triangle
sp/iérique a pour mesure la somme des nombre* gui mesurent
ses angles, diminuée de a.
Fig. 46S.
Soii [^g. 465] ABC le irUngie proposé; achevons le grand
SOa GftOlieTBIE DINS l'eSPICC.
cercle AB, et prolongeons les côtés AC, BC, jusqu'aux points A' ei B' où Ils rencontrent ce grand cercle. On aura évidemment
ABC-(-BCA' = fus. A,
ABC -I- ACB' = fus. B, et (845)
ABC-i-B'CA'=rus.C.
|j somme des premiers membres de ces trois égalités se compose de la demi-sphère et de deux fois l'aire du triangle ABC. Comme, dans le système d'unités adopté, la demi-sphère esl mesurée par le nombre 4< si l'on désigne par S, A,B, C les nombres qui mesurent l'aire et les angles du triangle, oo aura (816)
4 + 2S= aA ■+• îB-r aC,
SCOLIBS.
848. Soient R le rayon de la sphère évalué en mètres, ir l'aire du triangle en mètres carrés, et a, €, y les angles de ce triangle évalués en degrés; on aura, en observant que le triangle trirectangle est égal au huitième -ïtR'de la sphère,
go 90 90 iTtH'
et, par suite, en vertu de la relation (r).
Voici deux exemples :
1' Quelle est, sur la sphère dont l'aire est égale à 1 mètrv carré, l'aire dn triangle dont les angles sont de 61 degrfi, togdegrés, 127 degrés?
Le rapport de ce iriangleau triangleulrectangle est, d'après la formule (i),
