L'aire engendrée par une ligne brisée régulière ABCD
tournant autour d'un diamètre xy qui ne la travene pas, a
pour mesure le produit de la circonférence inscrite dans la
liffue brisée par la projection A'D' de celte ligne sur l'axe xr
iyïg.4C.).
Fie. 46 I.
Soient 0 le centre et 01 = OK = OL l'apothème de la Ilcne brisée régulière ABCD; si l'on désigne par aire AB l'alrc en-
LIVRB TH. — LC3 COUPS BONDS. "97
gendrée par la rotation de AB autour de xy; on a, d'après le itiéoréme précédent,
aire AB = A'B'. cire. 01, et de méine
aire AC^B'C. cire. 01,
aire CD^C'D'. cire. 01, d'où, en ajouunt, aireABCD=(A'B' + B'C'M-C'D').circ.0I = circ.01.A'U'.
837. ConsidéroDS ua arc de cercle AD et une ligoe brisée régulière inscrite ABCD; laodis que l'arc AD tourne autour du diamètre ^0/, la ligne brisée eogeodro une aire qui tend vers une limite indépendante de la loi suivant laquelle ses calés tendent vers zéro. En effet, dans le produit A'D'. cire. 01 qui mesure cette aire, le premier facteur A'O' est invariable et lesecond cire. 01 a toujours pour limite circ.OA. C'est cette limite de l'aire engendrée par la ligne brisée régulière inscrite qu'on appelle aire de la lone décrite par l'arc AD.
On vuit sans peine <]ue la ligne brisée A, B, C, D, circonscrite au même arc et semblable à la ligne in^rit^ ABCD engendre une aire qui lend vers la même limite. En effet, on a
jirnA,B,r,,D, A'-D*,. circ.OA
n -. — -,,|^7-,r tend vers l'unité lorsque le nombre des a brisée AÙCD croit indéliniment, et il en est de même
A',A,I1,C,D,D',, est aussi égala -TTT-
TIIËOnËME.
838. L'aire d'une zone sp/tériçue a pour mesure le produit de sa hauteur par la circonférence d'un grand cercle.
Pur définition, l'aire de la zone est la limite vers laquelle tend l'aire engendrée par une ligne brisée régulière inscrite dans Tare générateur de la zone, lorsque le nombre des cdiés do cette ligne briiice croit indéfiniment. D'après cela, soicntS
tçp GfiOKËTRiE nins l'espace.
l'aire de la zone, H sa hauteur, et R le rayon de l'arc générateur, c'esi-à'dire le rayon de la sphère à laquelle la zone appartient; soient de même I l'aire engendrée par une ligne brisée régulière inscrite dans l'arc générateur, el a l'apothème de cette ligne brisée. On a (836), puisque la projection de lu ligne brisée sur l'axe est aussi égale à H,
Mais, lorsqu'on fait croître Indéfiniment le nombre des côtés de la ligne brisée, B reste invariable, s tend vers S, et a vers R. On a donc, à la limite,
Corollaires.
839. Dans des sphères égales, deux zones sont entre elles comme leurs hauteurs et, par suite, deux zones de même hauteur sont équivalentes.
8V0. Considérons la calotte sphérique engendrée par l'arc AB
tournant autour du diamètre AD {Jig. 4^2 ). En vertu du ihéo-
FiR. 4Gi.
rème précédent, l'aire de cette calotte a pour mesure
2jt.A0.AC=jr.AD.AC ou (223) ir.ÂB.
Donc, une calotte sphérique quelconque équivaut au cercle dont le rayon est égal à la corde de l'arc générateur de la calotte.
THÉORÈME
841. L'aire de la sphère a pour mesure le produit de son diamètre par la circonférence d'un grand cercle.
Car celte aire peut être considérée comme celle d'une zone dont la hauteur est égale au diamètre de la sphère. D'ailleurs, le raisonnement fait pour la zone s'a|>plique textuellement à ce cas particulier.
tlTRR Vir. — LRS CORPS HOHDS. 199
Corollairis.
842. S éiani l'aire d'une sphère de rayon R ou de diamèlreD, on a
S=3iB.2itR = 4î:R'=:::D'.
L'aire de la iphère est donc égale à quatre grands cercles. On peut dire encore qu'elle équivaui à l'aire d'un cercle dont le raj'on serait égal au diamètre de la sphère.
Les aires des deux sphères sont entre elles comme les carrés des rayons ou drs diamètres.
