îr t

et, par suite,

A + Il -.- C - 3 ^ - f V + n' + C - î: ) .

D'ailleurs, le rayon de la sphère étant 1, l'aire du triangle irl-

reclangle est alors mesurée par -j de sorte qu'on a

S' étant le nombre qui mesure l'aire du triangle dans ce nouveau système d'unités. On a donc enlin (8^7], à cause de la formule (i),

S' = A' + B' -.-C' -TT. On donne à ce nombre abstrait A' + B'-i- C — nU nom à' excèi êphérique du triangle.

3o4 GËOUGTBtB DAHS l'eSPACB.

THÉORËUE.

850. Si l'on prend l'angle droit pour unité d'angle et le triangle Irirectangle /nur anité d'aire, l'aire d'un polygone sphérique de n rôtèt a pour mesure la somme des nombres qui mesurent ses angles, dîminiu'e de

On arrive û ce résullal en «lëcomposanl le polygone en triangles à l'aide d'arcs de grand cercle diagonaux issus d'un même sommet, et en appliquant la formule (i}du n°847 aux (n — i) triangles ainsi obtenus.

SCOLIB.

851. Soient, dans le système d'unités adopté, S, A„ A,,..., A. les mesures de l'aire et desangles d'un polygone sphérique convexe de n côtés; on aura

S= (A, + A,-+- ...-(- AJ--i("-'ii.

Désignons par a,, a,.... , n, tes nombres qui mesurent les cdlés du polygone polaire (8H), en prenant pour unité de longueur le quart de U circonférence d'un grand cercle ; on aura

ei, par suite,

S= [-.^-K +„,+ ... -Hflj]2(n -a) ^4-1".-^ ':. + ■- + ".!.

ou enfin, en désignant parp le périmètre du polygone polaire.

S- 4-/'- Ainsi, Vairc d'un /mlj-gune sp/iériquc mni'cxe est égale à J moins te périmètre du fioljgone polaire; cette relation mérite d'être remarquée.

THËOItÈlIB.

85J, Z* liea géomeirii/ue îles snnimiis C des trianglei sphériques, dr mi'me base AB et de même aire S, se compose dedeuxares dejietils cerrki symétri'jucs par rapport nu plan du grand cercle AB rt {tassant /tar les points E et \i diamétraU-mi'it opi>osês aux extrémités île la base ifi lf>g. 46C).

En effet, on désignant par A, D, C les angles d'an triangle qudcooqne

LIVBB Vli. — tas COKFS RO^DS. 2o5

ABC salisTaisant à la questioa et par D, E, C les angles du triangle correspondant DCB, on a A = a — E, B = a -r D, et par suite

on tombe ainsi sur le lieu étudié au n° 834,' dans le cas où la différenca

(D-f-E) — G est donnée en grandeur et en signe; cequi démontre l'énonce.

Ce théorème est dû à Lexell [Acia Petrop., 1781).