LIVRE II. — LA CinCONPÊHBNGB DE CERCLE
PROBLÈME
14-2. Connaissant Jeux angles ocet & iFun triangle yConsU aire A' troisième y.
Fig. 100.
Tracez une droile indéfinie AB{fig. loo); par Tun de ses points 0» menez une droite OC qui forme avec OA un angle COA r^^alà a; menez par le même point 0 une autre droite OD qui f<«sse avec OB un angle DOB égal à 6. L'angle COD sera l'angle cherché ; car lasommedestroisangles formés autour du point 0 ei au-dessus de AB équivaut à deux angles droits (72).
SCOLIE
143. Nous allons apprendre à construire un triangle, connaissant : 1" un côté et deux angles ; a'» deux côtés et l'angle compris; 3» deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux; 4** ï^s trois côtés. Dans ces quatre problèmes, nous désignerons les trois côtés par a, b, c, et les angles respectivement opposés par A, B, C; ainsi l'angle A sera opposé au côté a, l'angle B au côté 6, l'angle C au côté c.
PROBLÈME
144. Construire un triangle^ connaissant un côté a et deux angles.
On peut donner les deux angles B et C adjacents au côté a, ou bien l'angle opposé A et l'un des angles adjacents; on ramène ce dernier cas au premier en commençant par chercher le iroisième angle (142).
Supposons donc connus le côté a et les deux angles adjacents B et C.
Après avoir tracé une droite BC {/ig. loi ) égale à a, menez au point B une droite BA formant avecBC et au-dessus de cette
^(j GÊOtfÊTRlE PLANE.
ligne un angle ABC égal à Tangle donné B; menez de même au point C une droite CA formant avec CB, et au-dessus de cette ligne, un angle ACB égal à l'angle donné C. Le point de rencontre A de ces deux droites sera le troisième sommet du triangle cherché.
Pour que le problème soit possible, 11 faut et il suffit que les deux droites BA, CA, se coupent, c'est-à-dire (66) que la somme des deux angles B et C soit moindre que deux angles droits.
Fig. io«. Fij. H»».
(ICC L a li
PROBLÈME
145. Construire un triangle, connaissant deux côtés a rt h et l'angle compris C.
Tracez une droite C^[Jig, 102) égale à a\ au point C, menez une droite CA formant avec la première un angle ACB égal à l'angle donné C; puis prenez sur cette droite, à partir du point C, une longueur CA égale à 6; enfin tirez AB, et vous aurez le triangle cherché.
PROBLÈME
Ii6. Construire un triangle, connaissant deux côtés a cl b et r angle B opposé à l'un d'eux,
Fil». io3.
ai- — I IK,
Tracez une droite BC [f^. ia3) égale à a, et au point W menez une droite BA formant avec la première un angle AU(J égal à Taiigle donné B; puis, du point C comme centre, avec
LIVKB 11. — LA GIRCO.NFÊHEKGË DB CERCLE. 77
une ouverture de compas égale à 6, décrivez un arc de cercle. Si A est un point d'intersection du côté BA et de cet arc de cercle. Il suffira de tirer AC pour avoir un triangle ABC satisfaisantaux conditions exigées.
Discutons maintenant ce problème, c'est-à-dire cherchons les conditions que doivent remplir les données pour que le problème soit possible, et, dans ce cas, les diverses solutions c|ui peuvent exister.
I** L'angle B étant aigu [Jig* io3), pour que le problème soit possible, il faut que Tare de cercle rencontre le côié BA, c'est-à-dire que le côté b soit au moins égal à la perpendiculaire CD abaissée du point C sur BA.
Si le côté b est égal à cette perpendiculaire CD, le cercle touche BA en D, et il n'y a qu'une solution : c'est le triangle rectangle BCD.
Si le côté b est compris entre la longueur de la perpendiculaire CD et celle du côté a, le cercle coupe la droite BA en deux points A et A' situés au-dessus de B, et de part et d'autre de D; il y a donc deux solutions distinctes : ce sont les triangles ABC, A'BC.
Enûn, si le côté b est plus grand que a, le point A' passe au-dessous de B, et le triangle correspondant doit être rejeté, puisque son angle en B n'est plus l'angle donné, mais son supplément; il n'y a donc qu'une solution : c'est le triangle ABC.
a*» L angle B étant obtus (Jig. io4), la perpendiculaire Cl)
Fig. io'|.
ne tombe plus dans l'angle B, mais dans son supplément (ii^/i.): et, pour que le problème soit possible, c'est-à-dire pour que
nS GÊOMÉTRIB PLANE.
Tare de cercle coupe la droite BA au-dessus de B, il Taut que le côté b soil plus grand que a : ce que l'on pouvait prévoir, car dans tout triangle au plus grand angle doit être opposé le plus grand côté. D'ailleurs, lorsque cette condition est remplie, les deux points d'intersection A et A' sont de pari et d'auire de B; le triangle A'BC doit être rejeté, car son angle en B est le supplément de l'angle donné, et il n'y a qu'une solution : c'est le triangle ABC.
3*» L'angle B étant droite le problème est impossible si b esi inférieur ou égala a; il admet une solution unique si b est supérieur à a.
La discussion est résumée dans le tableau suivant :
' /» < CD problème impossible,
1 ^ ~ CD une solution,
° j û > ^ > CD deux solutions,
\b «ou>/î une solution. i
^ . . , \ b ' a OM — a, . . , problème impossible,
B droit ou obtus. , ^ i *•
j by a une solution.
Ainsi, lorsque b est supérieur à a, le problème a toujours une solution et une seule; en d'autres termes, on peut toujours construire un triangle, et un seul, connaissant deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux, pourvu que l'angle donné soil opposé au plus grand des deux côtés donnés. De là ce théorème :
Deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont deux côtés égaux chacun à chacun, ainsi que l'angle opposé au plus grand de ces deux côtés,
PROBLÈME
147. Construire un triangle connaissant les trois côtés a, b, c. Tracez [Jig, io5) une droite BC égale à a, c'est-à-dire au plus
Fig. io5.
" Bac
grand des côtés donnés. Du point C comme centre, avec une
