LIVRE ïll. — LES CORPS ROMIS
pones conveses formés de la sorle autour de A ont deux à deuï en commun doux sommets non conflécutifs ; ils ne peuvent pas former un angk polyèdre; mais, par la même raison, les pentagones étoiles ayant les mêmes sommets ont deux â deux une arête commune et donnent le dodé- {■rtédre étoUé (de septième espèce).
Cinquième posititiH. — Le plan est AN' P. Le triangle AN' P est isocèle, mais on peut démonlrerque N'P est plus grand que AP.
Sixième position. — 1^ plan est AM'<J. Le triangle AM'Q n'est pas équilatéral, car M'Q est égal à AD, lequel est inrôricur à AM'.
Septième poaiiioii . — Le plan est A BC DE ; c'est la face mémo du dodéraédre primilir.
A partir de là, le demi-plan, en achevant sa rotation, ne rencontre plus aucun sommet.
I^e dodécaèdre ne peut donc fournir qu'un polyèdre étoile.
Nous laissons au lecteur le soin d'appliquer le même raisonnement ù l'icosaèdre; la chose est encore plus simple, et l'on reconnaît de la sorte <iue l'icosaèdre ne donne que trois polyèdres étoiles.
PROBLfeME.
0£}. Trouver l'espèce d'un poljèdre régulier, La relation d'Ëuler (I) S+ F = A-i- a,
démontrée au n' 088, ne s'applique pas seulement aux polyèdres convexes; elle subsiste sans modification pour tout polyèdre jouissent dicelte propriété qu'il existe, dans leur intérieur, un point tel que chaque demi-droite issue de ce point rencontre !a surface en un point, mais en un seul. C'est ce que montre clairement la démonstration suivante que l'on peut substituer à celle du n° 688.
Imaginons une sphère ayant pour centre le point en question et. en considérant ce point comme cpnlre de projection, projetons le polyèdre sur la sphère. A chaque face du polyèdre répondra un polygone sphérique ayant le même nombre n de côtés et dont l'aire aura (850) pour expression i — aw ^- 4, s désignant la somme des angles de ce polygone sphérique. La somme des aires do tous les polygones spliériques ainsi formés, c'est-à-dire l'aire do la sphère, sera donc représentée par if — aln -4- 4 F et, comme dans le si stème d'unités adopté (813) l'aire de la sphère est égale è 8, on aura la relation (a) î.,-aîH + .(F = B.
Or, d'une part, la somme dos angles sphériques autour de la projection de ctfaquo sommet du polyèdre étant égale ù 4, on a Xs ~ iS. D'autre
254 GÉOMÉTRIE DAXS L*ESPÀGB.
part, la projeclion de chaque arête du polyèdre formant an côté appartenant à deux polygones sphériques, on a 2/t = 2A. La relation (i devient donc 4S — 4A-4-4F = 8, c'est-à-dire la relation (i).
Cette démonstration offre d'ailleurs l'avantage de montrer la roate » suivre pour modifier la formule d'EuIer de manière à la rendre applicable aux polyèdres réguliers étoiles. Il faut alors tenir compte è la fo{< de l'espèce du polyèdre considéré (918), de l'espèce de ses faces {9\^, supposées toutes de même espèce, et de celle de ses angles po]yèdre> (916) supposés tous de même es]>èce. A cet effet, projetons le polyèdre donné sur la sphère inscrite ou circonscrite, en prenant pour ceolre de projection le centre de cette sphère (917).
Soient n le nombre des côtés de Tune des faces du polyèdre, 9 le nombre qui en marque l'espèce, a Taire sphérique que sa projection recouvre (917), f la somme des angles de ce polygone sphérique. Décomposons-le en triangles en joignant à ses sommets, par des arcs de grands cercles, la projection du centre de la face considérée. L'aire de l'un de ces triangles, ayant s pour somme de ses angles, sera, en prenant pour unités l'angle droit ci le triangle trirectangle (847), a — 2. L'aire a qui contient n de ces triangles, sera a = la — ^n. Or Ix^ c'est la somme des angles des a triangles ou la somme s des angles du polygone augmentée de la somme (les angles au sommet de ces mêmes triangles, somme qui est égale à 4?) puisque l'espèce de la face projetée est ^(916). 11 vient donc
Soit B l'espèce du polyèdre ou le nombre exact de fois que sa projection recouvre la sphère dont Taire est ici représentée par 8 (813); nous aurons Fa = 8E en désignant par F le nombre des faces.
On a d'ailleurs F/2 = 2 A. A étant le nombre des arêtes do polyèdre. Quant à F.r, elle représente la somme des angles de tous les polygooes sphériques obtenus. Mais la somme des angles réunis autour de chacun de leurs sommets, projection de toutes les faces de Tangle polyèdre correspondant vaut <r fois quatre angles droits, <r marquant Tespèce dt^ angles polyèdres (916). On aura donc, s'il y a S sommets,
Fj = 4'S, et en substituant les valeurs de a, /i, ^ dans la relation ci-dessas, il vient
(1) A-^ aE = ^.E -+- a.S.
Si Ton fait dans cette formule E = 7 = (r = i, on retrouve la formoie d'Euler. Au lieu de la formule que nous venons d'obtenir, Poinsot (Mémoire cité) trouve
A-haE = F-H<7S,
parce qu'il ne tient pas compte de Tespèce de la face du pol}'èdre.
LIVHE VII. — LES GOaPS RONDS. ^55
024. Dodécaèdre régalicr de se/uième es/iice (Poinsot, quairième
On l'oblieot à l'aide de pentagones étoiles ou de Eeconde espèce, formant des angles trièdres de première espèce autour de rhaque sommel d'un d chUcd Ad re régulier ordinaire (922). Ce nouveau polyèdre (Jîg. Soo)
a donc vingt sommets (007). En désignant par m le nombre des arêtes d'un de ses angles polyèdres et par n le nombre drs càtés d'une de ses faces, ona(69fi)
aA::'"S cl aA-Hp;
doù l'on déduit (en faisant S - ao, m = 3, n = 5)
A.= 3o et F=--ia.
U furmule (1) donne ensuite, en faisant n = i , y = a, A = 3o, T = n, 5 = 10,
aE = a4 -f- ao — 3o ou E ^ 7.
t'A nouveau dodécaèdre est donc de septième espèce.
«5. leoiaMrt régulier de leplième espèce.
On l'obtient (022) à l'aide de triangles équi latéraux formant des anglet
GËOHETtttE Pins L E;
penlaèdres de seconde espèce autour de cliaquc sommet if on icct^a^" régulierordioaire. Ce nouveau polyèdre (/f^- 5oi)a donc 12 sommets i^J' -
En faisant S = ra. m = 5, /i = 3, dans les équations aA = BiS ei aA = /(F, on trouve
A ^ 3o el F = M.
La formule (I) donne ensuite, en y faisant 7 = 1 et <t = a,
aE = ao 4- a4 — 3o ou E = 7,
Ce nouvel icosaëdre e^l donc de septième espèce.
926. Dodécaèdre régulier de Imisiéme e.f/iéce, à fnces conreirs.
On l'obtient (922) à l'aide de penlagonea réguliers ordinaires (orBwni des angles pentaèdres de seconde espèce autour de chaque somtnel d'un icosaèdre régulier ordinaire. Ce nouveau polyèdre ayant douie sodudMSi les équations aA= mS et aA = wF donnent [pourm = 5 et /i = 5)
A = 3o et F =- la.
La formule (I) donne ensuile, pour y — i eio = a,
aE=ia-^34 — 3o ou E = 3.
Ce nonva espèce.
9ï7.Dodt
deuiitme ei
G&OMÉTBIE DANS L* ESPACE.
On Tobtient (922) à Taide de pentagones étoiles formant des anglepentaèdres de première espèce autour de chaque sommet d'un icosaèdiv régulier ordinaire. Ce nouveau polyèdre a donc douze sommets (907). Le? équations aA = /7tS etaÂ=/?F donnent alors, pour /it = 5 et a = 3,
A = 3o et F = 12.
La formule (I) donne ensuite, pour ^ = 2 et a = i,
2E = 24 -^ >î* — 3o ou E=3.
Ce nouveau dodécaèdre à faces étoilées (fg. 5o3 ) est donc aussi de troisième espèce.
928. Voici le tableau des éléments des quatre nouveaux polyèdres i^guliers.
Dodécaèdre régulier de septième
espèce
Icosaèdre régulier de septième
espèce
Dodécaèdre régulier de troisième
espèce, à faces conTezes
Dodécaèdre régulier de troisième
espèce, à faces étoilées
la
la
On voit que les nouveaux polyèdres sont conjugtiés deux à deux, comax les polyèdres réguliers ordinaires (907).
929. Pour familiariser davantage le lecteur avecles nouveaux polyèdre^ nous terminerons en Indiquant aussi leur mode de construction d'après Cauchy (919), parce qu'il fait peut-être mieux image que celui qui a été adopté plus haut (922).
« En prolongeant dans le dodécaèdre ordinaire les arêtes qui formeot » les côtés des douze pentagones, on obtient le dodécaèdre étoile (de troi- » sième espèce).
» Si, dans le dodécaèdre ordinaire, on prolonge le plan qui contieni 9 chaque face jusqu'à la simple rencontre des plans des cinq faces qu.< » entourent la face opposée, on obtiendra le dodécaèdre de troisièmo » espèce, compris, comme le dodécaèdre ordinaire, sous des pentagone» » de première espèce.
