LIVRE VII. — LES C0BP8 ROKDS. 3lj

ABC'D'E', lieu I respect irg des poinlg à égale dislance de leurs Eommels, ^e cou]>eront en un point S, car elles sont siluâeg dans le plan OKU' per< I didiculaire à AB au point K. Les deux triangles reclangles KOS, KO'? soront d'ailleurs égaui enlre eux, puisqu'ils ont l'hypoténuse K5 commune et le calé KO égal au côté KO' comme apothèmes de deux polygones réguliers ^ux. L'angle OKO" niesurRul rinclinaison constante do deux races adjacentes du polyèdre, l'angle OKS égal à l'angleCKSBern la moitié de celle inclinaison, cl le triangle KOS sera, par suite, constant pour toutes les faces.

Si l'on considère une troisième face C, conligiië i la face ABCDË par le c6lé CD dont le milieu est L, la perpendiculaire élevée i cette face par ^n centre 0' coupera dune la droite OS au point S, de manière que le triangle LO'S soit identique au triangle KOS ou à son égal OLS.

Bn continuant de proche en proche, on voit que les perpendiculairefélevées aui dilTérenles faces du polyèdre par leurs centres se coupent nDutuellement en un même point S, situé à la môme distance de toutes les faces et à la même dislance de tous les sommets.

Donc la sphère de centre S et de rayon SA passe par tous les sommets du polyèdre régulier ou lui est ciironscrUe ; la sphère de même centre S et de rayon 50 est tangente à toutes les faces du polyèdre en leurscentret^ nu lui esiinichu.

1^ point S est le M'/ifrv du polyèdre régulier; SA est son rayon, 50 son iipiithimt,

ConOLLAlHES.

909. Si l'on décompose un polyèdre régulier en pyramides en prenant pour centre de décomposition le centre même du polyèdre, les pyramide!) obtenues sont régulières ; Tout polyèdre régulier peut donc être j/urlagr en autant de pyramides régulières qu'il a de faces.

Les laces latérales de ces pyramides étant prolongées décompos«>nt l'videmment la sphère inscrite ou circcnscrite en autant de polygones ïpliériquee réguliers égaux que le polyèdre considéré a de faces.

Le volume d'un polyèdre régulier a ftaur mesure le produit de sonaire imr U tien du rayon de la sphère inscrite |6i6).

Deux polyèdres réguliers de même ordre étant nécessairement semblables, le rapport des côtés, des aires ou des volumes de ces polyèdres est aussi celui des rayons, des carréf OU des cubes des rayons des sphères inscrites OU clrtenicrites.

910. La centres fies faces d' un polyèdre régulier sont les sommets d'un autre polyèdre régulier conjugué du premier {fig. 498 ) .

Soient A l'un des sommet* du polyèdre donné et S le centre commun

344 GÉOMÉTRIE UaNS l'eSPACE.

des sphères inscrile et circonscrite à ce polyèdre. Désignons par 0. (' 0*, . . . les centres des faces réunies autour du point A. Ces poicc

Fîg. 498-

étant également distants des points S et A, sont situés dans un même y * perpendiculaire à SA en un point qui est le centre du cercle circonsc* au polygone 00' 0*.... De plus, L étant le milieu du côté AB, le iriar>.-- OLO' est constant, et le polygone inscrit OO'O'... ayant ses côtés ép^i est régulier. Le polyèdre formé en joignant les centres des faces du polyèdre proposé a donc déjà pour faces des polygones réguliers égani. •' le nombre de ces polygones est égal à celui des sommets du poheon: donné. Il reste seulement à prouver que ces polygones sont égatenhro: inclinés. Or, si l'on considère les deux faces du nouveau polyèdre ';t s'appuient sur le côté 00', l'angle dièdre qu'elles comprennent est . supplément de Tangle constant ASB des deux perpendiculaires SA et ^f à ces deux faces.

La réciproque de ce théorème est évidente.

On voit (|u'en appliquant la construction indiquée sous Tane oq scrl'autre forme, le tétraèdre régulier conduit à un nouveau télraédr»rhexaèdre régulier à un octaèdre régulier, et, réciproquement; le àod*^ caèdre régulier à un icosaèdre régulier, et réciproquement ; ce qui justi la dénomination de conjugués donnée à ces polyèdres (907),

PROBLÈME

9H. Un polyèdre régulier convexe étant donné, trouver : j* /W^ naison de deux faces adjacentes; a* les rayons des sphères inscrite tt circonscrite.

i" Soient [fig, 499 ) S le centre de la sphère inscrite on circonscrite AB le côté commun aux deux faces adjacentes dont les centres sont 0 et 0', L son milieu : l'angle OLO' mesure Tinclinaison cherchée L

AB étant perpendiculaire au plan OLO', les plans OLO' et ASB sont yerpendiculaires. Par suite, si du point S comme centre nous décrÎTons une

tIVBE TU. — LES CORPS RONDS. ^43

rphëre, sa rencontre avec l'angle trièdre SAOL déterminera un triangle sphérique aol, recbiDgle en t.

He. 499-

Soient, dans le polyèdre considéré, n le nombre de cdtég de chaque faco, m le nombre d'aréies de chaque angle polyèdre. On aura évidemment

anele(io/= angle AOL = ~ = V

angle on/ — angleOAl. = ^ ■■ - •

Le triangle spbérique rectangle aol donne d'ailleurs

cos<«i/= cosol.sinanl.

Alais

ciisol = coaOSL 1= sinOLS = sin - 1.

Od a donc la formule générale

En l'appliquant aux difforents polyèdres réguliers conveies, on trouve [lour l'inclinaison I les valeurs suivantes :

Tétraèdre régulier 7o*3i'43*,6

He^a^dro régulier. 90°

Oclaëdro régulier iiiç(°a8'i6',4

Dodécaèdre régulier 1 i6°3î'5.1',a

Icosuèdre réguliui' i38'irai',75

Les valeurs indiquées sont exactes pour l'besaèdre et l'icosaèdre, ap-

^S GËOMfiTRIE DVNS l'eSPACE.

procbées pour les trois autres polyèdres. Les inclinaisons des îèo^ .a tétraèdre et de Toctaèdre régulier sont supplémentaires Tune de l'autre. 2** Soient a le côté du polygone donné, r son apothème, R son tzjod Le triangle OLA donne

OL = AL cot AOL = - « col - •

Le triangle rectangle SOL donne à son tour

SO = OLtangOLS, c'est-à-dire

(i) T-rir -«cot-tang-I.

Le triangle sphérique aol donne enfin

COSoa — cotao/.cotoa/.

^r.» SO

COSOfl = COSOSA = rrr

On a donc

F^ = tangoo/.tangoa/

R . TT n

- = tang- tang-«

On en déduit

(a) 11 = -fltang — tang-L

En appliquant les formules (i) et (2) aux différents polyèdres réguliers convexes, on obtient les valeurs suivantes :

Tétraèdre régulier r == ^^^ j R = -*^r .

Hexaèdre régulier r=-, iv = ^l.

Octaèdre régulier /• = -^ , R = î^^.

Dodécaèdre régulier r = J V/'^Ô ''^~' ^ = ''~-'^ *' ' ' "

Icosaèdre régulier ^^ ^•3(3-^t/^) J^^u/^±^il.

la aV a

248 G^OMÊTRIB DANS l'eSI'AGR. |

à m qui lui a donné naissance. Or, si ce nombre est p^ il fiaut décrire p fois la circonférence (270) pour décrire le polygone lui-même. L'espèce d'un polygone étoile est donc le nombre de circonférences parcourues en suivant tous ses sommets, ou le nombre de fois que les projections '•< ses côtés sur la circonférence circonscrite recouvrent cette circomerence. Si Tespèce d'un polygone étoile est p^ la somme de ses angles ao centre vaut p fois quatre angles droits.

916. Vordre d*un angle fx>lyèflre est marqué par le nombre de faces. II est d'ailleurs de môme espèce que le polygone qui résulte de s* section par un plan. Si Ton considère une pyramide régulière ayant pour base un pentagone étoile ou de seconde espèce, l'angle polyèdre au sosk met est de seconde espèce, et les angles plans qui le forment, projetés >br la base de la pyramide, remplissent deux fois les qualre angles droits.

917. « ... En conservant toujours la définition générale des polyèdres }) réguliers,..., on voit la possibilité de construire de nouveaux polyèdres )> réguliers, non-seulement avec les nouveaux polygones (réguliers },...« 9 mais même avec les polygones réguliers ordinaires; et, pour bien a:-

> tendre cela, il faut commencer par distinguer nettement dans un fo

> lyèdre ses faces, ses arêtes et ses sommets.

» Comme un même polyèdre peut paraître également construit sous )) tels ou tels polygones, on prend pour \e& faces les plans qui, en plii5 » petit nombre, achèvent complètement ce même polyèdre

» Pour les arêtes^ ce sont les côtés mômes qui terminent les faces do » polyèdre, et par lesquels ces faces se joignent deux à deux, de sortt » que chaque arête sert de côté à deux faces adjacentes, et qu'ainsi le » nombre des arêtes est (toujours] égal à la moitié du nombre des 0616» » de toutes les faces.

v C'est à ces seules droites, comme faites, que se trouvent les angle> 0 dièdres du polyèdre; les autres angles que pourraient former les fac» » en se traversant n'en font point partie , et de même c'est aux seul» r> points où se réunissent les extrémités des arêtes que sont les sommeil » et les angles polyèdres du polyèdre.

» Cela posé,... on peut construire de nouveaux polyèdres parfaitement » réguliers. . . : ils ont toutes leurs faces égales et régulières, également » inclinées deux à deux, et assemblées en môme nombre autour de chaque » sommet. Ils peuvent être inscrits et circonscrits à la sphère (' )•— 1-^

(') Car la démonstration du n* 908 est fondée aenlement tvr Kégale iscISnaifton des faces égales et régulières du polyèdre et sur ridentite de |>OMtKa du centre de chacune d'elles par rapport à ses intersections avec les faces a J* jacentes

g difTérence essentielle de ces t naires est que, daos ceui-i 1 sur la spbëre JDScrile ou cii « respondants recouvrenl une » autres, ces polygones la tPoiNSOT, ^. cil.). Ce dernlt a,, , . , , a„ et w les projectioi du centre du polvgoae régulit faces du polybdre; œ que no par la projection de cette fù S I ibériques isocèles succossiC

918. On nomme nrdre d'ui et espèce d'un polyèdre réguli lion sur la sphère (c'cst-à'dire par li's projections de ses dîvc 'J19. Il est Tacile de voin ri^^utior jusqu'à leur renconli cnJrf, qui a (tour noyau le 'l'uito manière analoi>uc k'S pol lyi'drod réguliers ordinaires; e.

polyèdres réguliers déjà connu nouveau polyèdre régulier qi nairc qui a servi du point de d nul lie l'École Polytech»ir]ue , Plus lard, M. J. Bertrand (( '. XLVI)aralUcliélesnouv( connus, par une démousiralio pie : c'est celle que nous allô

920. Nous regarderons d'à • nnijues étant ttnnnés dans l\ i:o!lvexB, dottt les mmmets t rimtlenne tous les autres pu, lirécisiment pour sommets toi

Nous savons d'ailleurs (60!

dout chaque sommet soit la r

9âl. Étant donné un po^ existe toujours an polyèdre n que le poljvilre A.

Les sommets du polyèdre

3^0 GËOMÊTRIK DANS LESPACB.

Sphère (908), lout polyèdre convexe dont les soramels sont pris pam^ ceux de Â ne saurait contenir les autres dans son intérieur. Il eiis> donc (920) un polyèdre convexe X dont tous les sommets se coDfoodec avec ceux du polyèdre A. Il reste à prouver que ce polyèdre convexe X est régulier.

Désignons par P la figure formée par l'ensemble des deux polyèdre ronsidérés, et par Q une autre figure identique à la première. Puisque f polyèdre A est régulier, la coïncidence des deux figures pourra être vltenue en plaçant un sommet quelconque de Q sur un sommet détemÛD^ de Pf ce qui entraîne l'égalité de tous les angles i}olyëdres du pdyèdn convexe X.

De plus, deux sommets étant Tun sur l'autre, la coïncidence des deuv polyèdres A qui font partie de P et de Q, et par suite celles des figurrtotales, pourra être obtenue au moins de trois manières difTérentes: c. les sommets considérés appartiennent à des angles au moins trièdres e! sur l'une des faces du premier angle, on peut placer une face quelconqu du second. Les angles polyèdres correspondants des deux polyèdres coovexes X sont donc, à leur tour, non-seulement égaux, mais susceplible> de coïncider aussi de trois manières différentes au moins; et, comme cr» angles sont trièdres, tétraèdres ou pentaèdres (695), ils ont alors néœseairement toutes leurs faces égales et également inclinées.

Les faces des deux polyèdres X sont donc des polyt^ones équiangles ei également inclinés, dont la coïncidence peut être établie en plaçant on sommet arbitraire de Q sur un sommet désigné de P ; en d^aatres termes ces faces sont des polygones réguliers égaux. Le polyèdre X, ayant pour faces des polygones réguliers égaux et pour angles des angles polyèdns égaux, est régulier.

n convient de remarquer que Tordre des angles polyèdres est le mém^ pour le polyèdre A et pour le polyèdre X. On le voit sans peioe en ?< fondant sur ce que cet ordre ne peut être que 3, .{ ou 5.

THÉORÈME

922. // n'existe que qiuitre polyèdres réguliers d*espèces supérieurr*.

« En vertu du théorème précédent, pour obtenir les polyèdres ré^iu- » liera d'espèces supérieures, il faut évidemment prendre les polyèdn> u réguliers convexes (905), et procéder delà manière suivante : chot:!>tr » un sommet sur l'un de ces polyèdres, et chercher 8*il existe d'au- » très sommets qui, réunis à celui-là, puissent former un polygone ré- » gulier. » (J. Bertrand, loc. cit.) Ce polygone est alors une face possible d'un polyèdre d'espèce supérieure ayant mêmes sommets que \v polyèdre convexe proposé. Si le polyèdre d'espèce supérieure existe, lo nombre des polygones égaux partant alors d'un môme sommet est le

LIÏBB ïll. — LES C0BP8 RONDS.

nombre de faces de son angle polyèdre; mais, pour qu'il ei ces polygones égaux doivent pouvoir former un angle polyë<

I' Il est clair que celle construction appliquée au lélraèdrene

i> Chaque soinmet do l'oclaëdre appartient à deux carrés, ^' peuvent évidemment pas former les faces d'un polyèdre.

i> Cliaquo sommet du cube peut former, avec deux autres so •' vcnablemeni clioisis, un triangle équilatéral, et cela de troi I' difTérenies; maisces trois trianglesappartienneiit àun létraéd

n Chaque sommet du dodécaèdre régulier peut, do trois m ' rérentes, former des triangles équilaléraus avec des somme » nant à deux des faces qui s'y réunJBgenL; mais ces Irianglt " pas un angle polyèdre, deux d'entre eux n'ayant jamais d'à ré K

" Chaque sommet du dodécaèdre régulier peut également " déré comme le sommet de six triangles éqiiilatéraux dont " sommets appartiennent à des faces contiguës à celles qui < ■> le sommet donné. Mais ces six triangles équilatéraux sont I u deux tétraèdres réguliers.

B Chaque sommet du dodécaèdre est enfin le sommet comn '> pentagones régulieis dont les quatre auti'fs sommets appar " même polyèdre. Ces trois pentagones ne forment pas les <> angle trièiire, parce que deux d'entre eux n'ont pas d'aréle » mais les pentagones étoiles qui ont les mêmes sommets I " angle trièdre, et leur ensemble, pour tout le polyèdre, fori

- cacdre réj;ulier (de septième espèce).

» Chaque sommet de l'icosaèdre est le sommet commun de " gics équilatéraux ayant pour eôlés les droites les plus couri ■■ puisse mener entre les sommets, après celles qui forment 1( i> faces. Ces triangles forment l'icosaèdre de septième espèce.

• Chaque sommet do l'icosaèdre peut être considéré comme

- rommun de cinq pentagones réguliers de première espèc " quatre autres sommets appartiennent également à l'icosaèdn

• lagones sont les faces du doctécaèdre de troisième espèce U

• vexes). Enfin les mêmes sommets peuvent être considéi

• appartenant à des pentagones étoiles qui forment le dodd » troisième espèce, A faces étoilces).

e II n'y u dune en tout que quatre polyèdres étoiles, qui se ■> menl ceux que M. Poinsot a découverts. • (J. DimTRAND, h

Nous croyons devoir ajouter ici le raisonnement suiv M. Kœnigs, pour prouver que lo dodécaèdre ne fournit qu'u étoile Ot que l'icosaèdre n'en donne que trois.

D'après ce qui précède le dodécaèdre no peut donner que de étoilt's A sommets trièdros.

2Da

GÉOMÉTRIE DANS l'eSPAGB.

Or, parmi les plans passant par A {fig. 499 bU), le plan (AL, A'L < déterminé par les deux arêtes AL, A' L' joignant des couples de points diamétralement opposés A et A', L et L', est un pian de symétrie du dodécaèdre; et, il y a en chaque sommet A de ce corps trois plans de symétne tels que le précédent.

Un plan desymétriedu/>o(r^''^/''*''wm/étantunplan de8ymétrieda/>i/' lyèdreclérivé'^noxïs allons chercher à former au sommet Auntrièdre admettant le plan (AL, A'L') pour plan de symétrie et ayant par suite une arétc dans ce plan, tandis que la face opposée est perpendiculaire à oe plan.

Pour cela, nous ferons tourner un demi-plan autour d'une droite menée par A perpendiculairement au plan de symétrie ; et, en considérant )es positions du plan contenant des sommets du polyèdre primitif, nous chercherons à former avec ces sommets des polygones réguliers pouvant être pris pour faces d'un polyèdre dérivé.

Le plan est supposé tourner vers Tarrière de la figure ('). Voici le ubleau de ses positions successives :

Première position. — Le plan contient, outre A, le sommet L seul.

Deuxième position. — Le plan est AMQ'. Le triangle AHQ' est équilatéral; les deux autres sont AP'D, ACN; ils n'ont pas d'arête commune.

Troisième position. — Le plan est AC'D'. Le triangle AC'D' n'est pas équilatéral.

Quatrième position, — Le plan est AP'N ; il contient aussi B' et E', car les arêtes LA, QT'^ C'B', D'E', MN sont également inclinées sur la face LQ'C'D'M. Les sommets A, N, E', B', P' forment un pentagone semblable au pentagone qui forme la face du dodécaèdre primitif. Les trois peola-

(')L, N, Qf M', P' sont dans un même plan; L', N', Q', M, P sont d«08 un autre; aucun de ces plans ne contient le centre 0 qui est dans un plan parallèle intermédiaire.