IV. — Homothétie et homologie dans l'espace

FIGURES HOMOTIIÉTIQUES DANS l'ESPACE.

930. Étant donné un système de points A, B, C, ..., situés d'une manière quelconque dans l'espace (fig, aaS et 226), si, sur les rayons SA, SB«SC, ..., issus d'un point S pris à volonté, on prend à partir de ce point des segments SA', SB', SC\ ..., tels que

SA ' SIV se '

SA "" SB ~ se ~'' '

A étant un nombre quelconque, on dit que le nouveau système de points A', B', C\ ... est homothétique au système primitif ABC. . . . Suivant que le rapport k ^homothétie est positif ou négatif, les points homologues tels que A et A' sont situés d^un même côté ou de côtés différents par rapport au centre S tC homothétie, et les deux systèmes ABC..., A'B'C'...' sont dits homothétif/ues directs ou homothétiques inverses,

La déûnition de l'homothétie est donc la même pour les Ggures de Tespace et pour les Ggures planes (354). Toutefois, il n'est plus vrai de dire ici, comme dans le plan, que l'homothétie inverse donne, abstraction faite de la position, les mêmes figures que l'homothétie directe; F étant une figure quelconque de l'espace, si l'on construit, à l'aide d'un centre S arbitraire, la figure homothétique directe F' suivant le rapport X* et la figure homothétique inverse F^, suivant le rapport — X-, les deux figures F' et Fi seront symétriques par rapport au point S (65H). Or on ne peut plus faire coïncider deux pareilles figures (673), tandis que dans le plan une rotation de 180 degrés autour du point S entraînait la coïncidence (35i).

93i. La figure homothétique rCune sphère est une sphère; la démonstration est la même que celle du n" 355. Par suite, comme un cercle peut toujours être considéré comme l'intersection de deux sphères, lajfgure homothétique d*une circonjérence par rapptjrt à un point quelconque de i^espace est une circonférence.

93i. Le théorème du n"" 356 et sa démonstration subsistent. La figure homotitétique d'une droite est une droite parallèle h la première ^ et Pangle de deux droites est égal à celui de leurs droites homologues ( 357, 358).

aÔO GÉOMÉTRIE DANS L*ESPACE.

La figure homothetiqite d\in f*lan est un plan parallèle au preaiifr. car, si Ton considère dans le plan donné une droite qui tourne autour d 'n point A, dans chacune de ses positions cette droite aura pour bomoimtique une droite parallèle passant par un point fixe A' homothéUqoe de A. Il résulte de là : i^ <\\xun plan qui passe par le centre d'Aoniot/tétie este lui-même son fiomothëtique ; a* que l'angle de deux pians est égal a Sangle de leurs komothétiques.

Les tangentes en deux points homologues de deux courbes kotm^^^tiques sont parallèles, comme limites de sécantes parallèles. Par suite [8Ni les plans tangents en deux points homologues de deux surfaces homothitiques sont parallèles.

933. Deux systèmes sont liomothétiques, s^ il existe dans i 'espace dtnj points 0 et 0' tels, que les droites qid joignent le point 0 aux divers p^-ini> du premier système, et les droites qui joignent le point C aux évcr points du second système, soient parallèles et dans un même rapport i la démonstration est la même qu'au n*" 360.

Il résulte de là que deux sphères quelconques sont à la fois homnti^ tiques directes et /lomothétiques inverses (362); les deux centrée d'hotci- Ihétie divisent harmoniquement la ligne des centres des deux sphères: ces centres sont en outre les sommets des deux cônes qu'on peut drcoJiscrire aux deux sphères. Lorsque les deux sphères sont tangentes, leur point de contact est un centre d'homothélie, directe si le contacter' intérieur, inverse si le contact est extérieur,

93 i. Le théorème du n"* 363 et sa démonstration subsistent. Ainsi^ «^^ systèmes homothétiques à un troisième sont homothétiques entre euSft' les trois centres d^homothétie sont sur une même ligne droite, qû'o:» nomme axe d*homotltétie des trois systèmes.

Trois sphères considérées deux à deux ont trois centres d'homothéi.-e directe et trois centres d*homothétie inverse (933). Elles ont à:tc quatre axes d*homothétie : un axe d'homothétie directe qui contienl le^ trois centres d'homothétie directe, et trois axes d'homothétie inverse (\'^ renferment chacun deux centres d'homothétie inverse et le centre dirtc' qui répond au troisième centre inverse. Ces quatre axes d*homotitetn sont ceux des trois cercles (366) que l'on obtient en coupant les tro:» sphères par le plan qui passe par leurs centres.

935. Lorsque quatre systèmes P, P', P", P* sont homothétiques deni à deux, leurs six centres dhomothétie sont situés dans tm même plan.

En effet, soient respectivement 0„ 0,, 0„ les centres d'homothétie de P et P', de P et P', de P et P" ; le plan 0, 0, 0^ est à lui-même son booo* logue dans les systèmes P et P', puisqu'il contient leur centre 0«; il est

LITBB TH. -« LES CORPS RONDS. 26 r

aussi à lui-même son homologue dans les systèmes P et P", puisqu'il contient leur centre O,. Donc ce môme plan est encore à lui-même son homologue dans les systèmes P'et P' (934); et, par suite, il contient leur centre d'homotbétie. On prouverait de même que ce plan passe par les centres d'homothétie de F et P"*, et de P' et P'".

Ces six centres d'homothétie sont les sommets d'un quadrilatère corn* plet dont les côtés sont les quatre axes d'homothétie des quatre systèmes» f roposés pris trois à trois. Le plan de ce quadrilatère reçoit le nom do l^lan d*liomnthétie des quatre systèmes P, P', P", P*.

936. Considérons en particulier le cas de quatre sphères. Comme deux sphères sont à la fois homothétiques directes et bomolhétiques inverses, on aura douze centres dJiomothétie, dont six directs et six inverses. II est aisé do voir qu'il y a huit plans <f/tomothétie. En effet, imaginons le tétraè^lre dont les sommets sont les centres des quatre sphères ; sur chaqueface de ce tétraèdre, il y a six centres d'homothétie, trois directs et trois inverses (934). Considérons l'un 0 des six centres qui sont sur l'une des faces; ce point 0 appartient à deux droites À et B dont chacune passe par deux autres centres de la môme face. D'ailleurs, ce même point 0 est commun à une autre face du tétraèdre, et, par suite, il appartient également à deux autres droites Cet D situées sur cette seconde face. En combinant les deux droites A et B de la première face avec les deux droites C et D de la seconde, on obtient quatre plans, AOC, AOD, BOC, BOD, dont ch«icun passant par cinq centres d'homothétie renferme nécessairement le sixième centre correspondant. Ainsi, par chaque centre 0 de la première face, passent quatre plans d'homothétie ; mais chacun de ces plans est commun à trois centres de cette même face. Donc le nombre total des plans d'homothétie est égal à huit.

937. Deux Ggures de l'espace sont semblables lorsque, par un déplacement convenable, on peut amener la seconde sur Tune des homothétiques directes de la première. Or, d'après le n"" 930, pour avoir tous les systèmes homothétiques à un système donné, il n'est pas nécessaire de faire varier le centre; il suffit, en prenant un centre arbitraire, de faire varier A de o à oo (364). Donc on obtiendra toutes les Ggures semblable^ à une figure donnée, en construisant, avec un centre pris à volonté, les surfaces homothétiques qui répondent à toutes les valeurs du rapport A^ depuis zéro jusqu'à l'infini.

Ainsi deux sphères quelconques sont semblables (931 ).

La seule figure semblable à une surface conique est cette surface co» nifjue elle-même; car, si l'on prend le sommet 0 pour centre d'homothétie, l'homologue A' d'un point quelconque A de la surlace conique proposée est situé sur la génératrice OA.