LIVBB TU. -~ LES CORPS RONDS

suite, )e point m' est dans le plan déterminé par le point a' et la droite À. Tout plan passant par le centre d'homologie est son propre homologue. Si un plan est parallèle au plan d'homologie, il en est de même de son homologue ; par suite, si une figure F est située dans un plan parallèle au plan d'bomologie, la figure homologue F' est semblable à la première.

940. Dans deux figures bomologiques, le rapport anharmonique de quatre points en Ugne droite est égal au rapport anharmonique des quatre points homologues.

Il en est de môme pour un faisceau plan de quatre droites et pour le faisceau correspondant ; pour le faisceau de quatre plans passant par une môme droite et pour le faisceau formé par les plans homologues.

Le premier principe est évident, diaprés la remarque faite en lète du numéro qui précède; les deux autres s'en déduisent immédiatement.

941. Lorsqu'un point m' de la figure F' est à Tinfini, Tégalité

(Op//i/w')=A

80 réduit à

//lO

Donc tous les points à IMnfini de la figure F' ont leurs homologues situés dans un plan U parallèle au plan d'homologie; ce plan est dit le plan limite de la figure F.

On est ainsi conduit à généraliser la notion acquise au n*" 588, sur les points à Tinfini dans un plan. Puisque tous les points à l'infini dans Tespace ont leurs homologues situés dans un plan, et que la figure homologue d*un plan est un plan, on doit considérer tous les points à rin^ui flans t espace comme étant situés dans un même plan qu'on nomme plan h Pinfini; ce plan contient les droites à Tinfini de tous les plans de l'espace.

Mais revenons aux figures homolopiques. ta figure F' a aussi son plan limile V qui répond aux points à Tinfini de la figure F ; et l'on voit, comme au n* 732, que le rapport des distances du plan limite U au centre 0 et au

plan Q d'homologie est égal à X, tandis que ce rapport est égal à r- pour

le plan limite V.

Étant donnée une figure F, son plan limite U, ainsi que le centre 0 et le plan Q d'horoologie, on obtient l'homologue m' d'un point quelconque m de la figure F de la manière suivante \ p ^i q étant les points où une droite menée par m rencontre les plans U et Q, on mène par le point q U parallèle au rayon 0;^, et Ton prend Tinlersection m' de cette droite {homologue de pmq) avec le rayon O/ii.

264 CffiOHfiTRIR DANS l'eSPàCE.

9iâ. Pour > = — I, l'homologie est dile tuirmonique; les deux (4aDs limites se confondent avec le plan qui est équidistant du centre et da plan d'homologie.

Quand le plan d'horoologie est à TinGni, rhomologie devient Aom»thétie. Si, de plus, Tbomologie est alors harmonique, on eet ramoié ï vt symétrie par rapport à un centre.

Lorsque le centre d*homoIogie est à l'infini, Thomologie devient affinité; la seconde figure se déduit de la première en dilatant dans un nyport constant ses ordonnées normales ou obliques par rapport au pin d*homologie. Si, de plus, Thomologie est alors harmonique, on est rament* à la symétrie (normale ou oblique) par rapj)ort h un plan,

943. Nous montrerons plus tard les ressources qu'offre à la Géométrie pure la transformation homologique. Nous nous bornerons à signaler ic une des plus intéressantes applications pratiques de cette théorie; nous voulons parler de la construction des bas-reliefs, c'est-à-dire de of> figures qui forment une faible saillie sur le mur d*un édifice et à Tasd: desquelles on représente un sujet ou une scène quelconque. Le bèyrelief F et la scène F' qu'il représente sont deux figures homologique^. Soit 0 l'œil du spectateur qui est en avant du mur, tandis que la figure F est supposée en arrière ; désignons par a* le point de F' qui est le plus voisin du mur, et par P' le plan mené parallèlement au mur par le poioi le plus éloigné. On prend le point 0 pour centre d'homologie, le plan P du mur pour plan homologue de P', et Ton se donne à volonté, un peu en avant du mur, le point a qu'on veut faire correspondre au point a' et qui sera le point le plus saillant du bas-relief. Ces données, c'est-à-dire \k centre d'homologie 0^ un couple (^, a') de points homologues et us couple (P, P'] de plans homologues, suffisent évidemment pour déterminer la figure F homologue de F . m' étant un point quelconque de F' on prend l'intersection h' de la droite <i'/ii'et du plan P'; le rayon 01 donne, par sa rencontre avec le pls^n P, l'homologue 6 de ^' ; par suite, Vvcr tersection m de ab et du rayon Om' est le point m du bas-relief qui répono au point m' de la figure à représenter. On pourrait aussi commence: par déterminer, à l'aide de ces données, le plan d'homologie, et opérer ensuite à l'aide du plan et du centre d'homologie, et du couple (a, o^).