CENTRES DE SIMILITUDE DE DEUX CERCLES

9G8. On nomme centres de tîmilitude de deux cercles AB et CD situés >ur une sphère (fig. 509] les points 0 et 0' où la sphère est rencontrée j^r

Fiç. 509.

les rayons &> S et uS' qui vont aux sommets S et S' des deux cônes (87^ ^ que Ton peut faire passer par les deux cercles. Ces deux centres soot

(') L'étude du double système des cercles orthogonaux sur la sphère s di « conséquences importantes relatiremont aux surfaces dont les lignes d« courbure sont planes (O. BoixnET, Journal de P École Poljrteeknique, XXXV* cahier — PiCAnT, Essai tPune Théorie géométrique des turfacet^ i863>

LtVBE VII. — LES CORPS HONDS.

d'ailleurs Bar le grand cercle qui passe par les pâtes P et Q des cercles donnés.

Or dit que deux poinls M el N, appartenant, l'un au cercle P, l'aul cercle 0, sont anii-homologiies lorsque la droite qui les joint est ur néralrice de l'un des deux cônes S et S'. L'arc de grand cercle MN , alors par le centre de similitude 0 relatij au cane considéré S, ca (ilan contient les poinls u et S, el, par suite, le point 0 de la droit (/Fg. MO).

Deux coiiples^L et N, B ti D, de points aiui-komologues par rnpf uji iitéme cône S appartiennent h an même cercle de la sphère, c sont situés dans le plan des génératrices MN et BD du cône. On en et (90"7) que l'art de grand cercle qui joint deux puints quelconqu cercle P et l'arc de grand cercle i/tti joint les points anti-homologu cercle Q se coupent sur l'axe radical des cercles P et Q.

Si les deux poinls considérés sur le cercle F se confondent, les proportions qui précèdent deviennent les suivantes : Quand deux c. V et Q d'une même sphère sont touchés par un troisième^, les poir corttact M f f N sont anti-liomologues et le plan de ce cercle X pass le sommet S du cône corrcspundant. Les tangentes sp/térii/ues en fyointt anti-homologues H et 'H de deux cercles f el Q se coupen l'axe radical de ces deux cercles.

Lepland'un cercle tangent à (rois cerclesde la sphère est tangent J Fie. 5 10.

cônes qui passent par ces cercles pris deux à deux, el rôciproquei Or, trois cercles pris deux à deux forment trois combinaisons, à cbi desquelles répondent deux cènes. Du sommet de l'un des cônes de la mibre combinaison on peut mener, en général, deux plans tange l'un des cônes de la second), et ces plans seront tangents non-seuU aux deux cônes, mais encore à un des cônes de la troisième combini Donc l'intersection de ces deux plans passe par les sommets des cônes. Nous avons considéra dans ce raisonnement un cône de k mitre combinaison et un cône de la ser.onrle, ce qui a déterminé le

a86 GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACB.

de la troisième. Mais on peut associer de quatre manières différentes on oône de la première combinaison et un cône de la seconde. Par suiir. les sommets des six cônes sont situés trois à trois sur quatre drûi(e>, chaque sommet appartenant à deux droites différentes; donc ces quatre droites se coupent deux à deux et sont toutes situées dans un même plan Il résulte de là que les six centres de simiiitutie de trois cercles d*une même sphère sont situés trois à trois sur quatre grands cercles,

CERCLES ISOGONAUX.

969. Pour que, sur une sphère^ un cercle L, qui rencontre un cercle P rw un point M et un cercle Q en un point N, coupe ces deux cercles sous dr'< angles égaux ( ou supplémentaires ) , il faut et il suffit que les points M et N soient anti~homol<^ues.

Remarquons d*abord que, si par deux points appartenant respectivement à deux lignes spbériques on peut mener un cercle qui coupe ci^ lignes sous des angles égaux, tout'autre cercle passant par les deux points coupera aussi ces lignes sous des angles égaux, car les nouveaux an^e^ différeront respectivement des premiers d*un angle égal à celui des detu cercles. Il suit de là qu*il suffît de démontrer le théorème proposé éatny l'hypothèse où le cercle L est un grand cercle. Soit donc (J^, 5io. filN un grand cercle coupant P et Q sous des angles égaux, et soit X le point d'intersection des rayons spbériques PM, QN. Les angles XMN.XNM étant égaux, le triangle sphérique XMN est isocèle, et, par suite, le cercle décrit de X comme centre sphérique et passant par M passe aussi par N ; ce cercle touche d'ailleurs en M et N leâ cercles P et Q (8^3); donc les points M et N sont anti-homologues (968). Inversement, soient BfN l'arc Je grand cercle qui joint deux points anti-homologues des cercles P et Q et X le pôle du petit cercle qui touche (968) P et Q en M et N ; les graod!^ cercles PX et QX passent respectivement par les points de contact M et N (823) et, dans le triangle sphérique isocèle XBfN, il y a égalité entre les angles à la base M etN, et, par suite, entre les angles que MN faita^-cc Pet 0-

On peut encore énoncer ce théorème en disant (968) : Pour que^ sur une sphère, un cercle L coupe deux cercles P e/ Q sous des angles rgmu (ou supplémentaires), il faut et il suffit que son plan contienne le sommet de run des cônes qui pensent par V et Q.

Si A, B, C sont trois cercles d'une sphère ayant deux à deux méofc axe radical (c'est-à-dire dont les plans passent par une même droite KK et si un autre cercle L se déplace sur la sphère en faisant avec A a* angle constant a et avec B un angle constant p, ce cercle snobUefera avec C un angle constant 7. En effet, soient L et L, deux positions du cercle mobile. A coupant L et L, sous le même angle «1 son plan

Uïm ïll. — LBS CORPS BONUS. 30;

par le Bommet S de l'un des càaea déterminés par L et L, ; pour la même raison, le plan du œrcle B passe par S ; donc le point S appartient à la dro te K. et, par suite, au plan du cercle C qui , dès lors, coupe L el L, sous le mâme angle.

Il suit de là que, si an eercle L se déplace sur une Sjilière en toiipani respectivement deux cercles A el B soirs des angles constntits a cl ^, ce cercle mobile reste langent à deuz cercles fixes. En effet, L, étant une position particulière du cercle mobile, menons par la droite K, commune aui plans A et B, un pian qui coupe la sphère suivant un certle C tangent à L, ; te cercle mobile devra, dans toutes ses positions, Tuire un angle invariable avec C d'après le théorème précèdent; et comme, dans la position {larticulière L,, il touche C, c'est-à-dire fait avec C un angle nul (ou égal à deui droite), il devra touclier C dans toutes ses positions. D'ailleurs, par la droite K, on peut mener deux plans coupant la sphère suivant un cercle tangent à L, ; donc le cercle mobile louche constamment rtf ux cercles 6ies C et C. Observons enlin que, les cercles A, B, C, C, ayant leurs plans passant par une même droite K, leurs pâles sont sur le gTdnd cercle dont le plan est perpendiculaire à celte droite.

PBOBLèllES RELATIFS AU CONTACT DES CERCLES ïun LA SPIléllE,

970. I* Par deux points donnés A el B, mener un cercle longent ii un grand cercle donné KL (fig. lB3i).

La solution est analogue à celle du problème correspondant de Géométrie plane. On joindra A et B par un arc de grand cercle qu'on prolongera jusqu'à sa rencontre C avec KL. L'inconnue de la question est le I)Oint T où le cercle demandi^ touche KL. Çr, la lonsueur CT étant (■i:»\a A celle de la tangente sphiSrique menée du point C à un cercle quelconque tracé par A et B sur la sphère, on déterminera cotto longueur à l'aide d'un cercle mené à volonté par A et B, puis on la portera sur KL on CT ou CT', ce qui donnera deux solutions.

»■" Par deux points donnés B et C, mener un cercle tangent à un /tetit cercle ilonné 0 {fig. i83i).

Le tracé est le même qu'en Géométrie plane. Par B et C, menez un cercle quelconque qui coupe le cercle donné 0 on <]cux points D et E, et du point M, intersection des grands cercles BC, DE, menez deux arcs de grand cercle tangents au cercle 0; A et A' étant Icâ points de contact, il surBra de mener des cercles par fi, C, A et par B, C, A', pour avoir les deux solutions du problème.

971 Mener un cercle tangent à trois cercles dnnn^s sur lu sphère. 1j) raisonnement et la construction sont les mêmes qu'au n' 40); il sufTit de rcmplac«r les droites par des arcs de grand cercle; il y a huit solutions.

288 GÊOHftTRIB DANS L* ESPACE.

972. Décrire sur une sp/ière un cercle X qui coupe trois cercles donnés A, B, C, sous des angles donnés a, p» 7.

Le cercle X , coupant  et B sous des angles constants a et p, est tangent à deux cercles dont les pôles sont sur le grand cercle qui contient les pôles de  et de B (969 ) . £n considérant de même  et C, puis B et C, on voit que le cercle X doit être tangent à six cercles. Il suffira donc, pour le déterminer, de connaître trois de ces six cercles et de leur appliquer le problème précédent. Voici comment on obtient l'un des six cercles, par exemple Tun des cordes relatifs au couple (Â, B). Ce cercle doit toucher tout cercle L qui coupe A sous Tangle a et B sous Tangle P; il suffira donc d'avoir trois de ces cercles L. Or, pour avoir un cercle L, on se donnera à volonté son rayon sphériqne, et, alors, son p6le sera à des distances sphériques déterminées des pôles des cercles A et B.

Le problème correspondant de Géométrie plane a été traité au n* Mïii comme application de la méthode de transformation par rayons vecteurs réciproques. On pourrait le résoudre exactement par les principes appliqués ci-dessus en remplaçant les arcs de grand cercle par ées droites.

Enfin la méthode précédente s'étend également an problème analogue relatif aux sphères. On voit aisément que la sphère variable, assu/ettic à couper deux sphères sous des angles constants, reste tangente à deux sphères fixes dont les centres sont sur la droite des centres des sphères données. Dès lors, la sphère qui coupe quatre sphères données sous dtt fingles donnés doit toucher douze sphères, dont quatre (952) suffiront pour la trouver-^

Le triple problème dont noys venons d'esquisser la solution a occupé divers géomètres; mais il avait été résolu, dès i8a6, par Steiner {/our* nal de Crelle^ t. I) et par Heegmann {Mémoires de la Société des Sciences de Lille),