AXE RADICAL DE DEUX CBBGLB

967. On nomme axe radical de deux petits cercles P et Q tracés sur :«

Fig. 507.

sph6re Tare de grand cercle UV dont le plan passe par rinlersectioa Sî des pldns des deux petits cercles P et Q. D'après cela, cet axe radical e^ perpendiculaire à l'arc de grand cercle PQ qui joint lee pôles des deo petits cercles donnés (/j^. 507).

• Si ion coupe les deux cercles fixes P ei Q pf.r un cercle amxiiimrf

LIÏRK ¥11. — LES CORPS HO.MDS. a83

variable qui coupe le premier en A el B, cl le scconrl en A' et D', le lieu lies points de rencontre M des arcs de grand cercle AB el A' B e>l l'axe radical des cercles P el Q. Car les droites AB, A' B', se coupant évidemment en un point M' de XY, le point M où le rayon uM' perce la sphère appartient à la fois aux trois grands cerclos dont les plans passent respeciJvemenl par les droites AB, A'B', XV. Cette propriété permet de construire sur la sphère I aie radical de deux cercles.

Si le cercle sécant ABA'B' deviont un cercle CD tangent en C el D ' fig. 5oS}, les arcs de grand cercle BAM, B'A'M deviennent iJes arcs de

Fis- 5o8.

f,TÀaà cercle tangents MC et MO ; ils sont d'ailleurs égaux comme tangentes sphérjques menées d'un même point M au cercle auxiliaire CD (832, 8*0). Donc l'axe radical UV des deux cerclet V et Q est le lieu de< deux points de la tphère d'où l'on peut leur mener des tangentes tp/iériquei égales.

Le cercle CID, décrit du point U comme pAle, coupe ortbogonaleiDent les deux cercles P et Q ; car il est à angle droit aur les arcs de grand corde UC el HD. Donc l'axe radical des deux cercles V et Q est sur la sphère le lieu des pôles ou centres sphériques des cercles qui coujieni nrtltngonalement les deux cercles P et Q.

EnBn, le plan du cercle QD est le plan polaire du point M' qui appartient à XY; car son plan est perpendiculaire b uM', et il conlionl le (loinl C qui appartient évidemment au plan polaire. D'ailleurs, comme lorsque le cercle orlliogonal QD varie, son pôle H' dt^crit la droite XY, le plan de ce cercle CID passe constamment par la droite réciproque (9*6) de XY. Donc, lorsque deux systèmes de cercles se coupent ortlutgoiialentenl sur la sphère, les plnns des cercles de chaque système passent par une ibvite, el ces deux tlrolies sont réciproques par rapport à la

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sphère. Inversement, deux séries tle plans passant par deux droites réciproques par rapport à une sphère tracent sur cette sphère deux iptèmes de cercles orthogonaux (' ). Ajoutons que la droite réciproque é^ l'intersection des deux cercles P et Q est précisément la droite qui joint les sommets des deux cônes (878, 880] que l'on peut faire passer par ces deux cercles. En effet, prenons pour plan de la Ggure le grand cercle (fig, 219, p. 344) perpendiculaire uux deux cercles donnés, qui sont alor? représentés par les deux droites ÂÂ' et BB' ; en joignant AB et A'B*, puis AB' et BA', on aura les sommets N et 0 des deux cônes considérés, et, comme la droite NO est (346) la polaire de Tintersection M des detn droites A A' et BB', la perpendiculaire au plan de la figure élevée par \t point M, c'est-à-dire la droite commune aux plans des deux cercles AA' et BB', aura pour réciproque NO (916).

Les axes radicaux de trois cercles d'une sphère considérés deux h devx concourent en un même point; car le rayon qui aboutit au sommet du trièdre formé par les plans des trois cercles perce la sphère en un p(.<irt commun aux trois axes radicaux. Ce point prend le nom de centre radiai des trois cercles. C'est le centre sphérique du cercle qui coupe ortbogonalement les trois cercles donnés.