III. — PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DE LA PARABOLE

1027. La parabole est une courbe plane telle, que chacun de ses points est équidistant d'un point Vwe et d'une droite Vi\e donnés dans son plan. Ainsi {/ig, 537), le point Cwe

Fig. 337.

clant F et la droite fl\e DD', on aura, pour tout point M de la parabole, en abaissant Mil perpendiculaire sur DD', MF = MH. Par sa définition même, la parabole est nécessairement située tout entière du même côté que le point Hxe par rapport à la droite fixe.

D'après ce qu'on vient de dire, pour décrire un arc de parabole d*un mouvement continu, on fait coïncider Tarète

R. i»l DR r. — Tr. de Géom, ( II« Partie). 21

322 GÉOMÊTBIB DANS L*B8PACB.

d'une règle avec la droite DD', et l'on applique contre celte règle le pelil côté KH d'une équerre KHG. Un fil, égal en longueur au grand côté HG de cette équerre, est fixé par i^s deux extrémités, d'une part au point F, et de l'autre à Textré* raiié G du côté HG. Si l'on tend alors constamment ce fil contre le grand côté de l'équerre à l'aide d'un crayon, et si l'on fait en même temps glisser l'équerre le long de la règle, la pointe du crayon décrit un arc de parabole. En effet, pour une position quelconque M de cette pointe, on a

GM-+-MF = GH = GM -hMH, d'où MF = MH.

En opérant de cette manière, on trace d'un mouvement continu l'arc BA, qui va du point B de la courbe dont la distance au point F est égale à GH, jusqu'au point A milieu de la perpendiculaire FL abaissée du point F sur la droite DD'. Il faut ensuite retourner l'équerre, comme l'indique la figure» pour décrire l'arc AB'.

On voit que la parabole est formée de deux branches qui s'étendent indéfiniment, à partir du point A, au-dessus et au-dessous de la droite FL; car, si l'on emploie une règle, une équerre et un fil assez longs, rien ne limite l'éloignement des points obtenus sur la courbe. La parabole est donc une courbe à branches infinies, mais sans séparation, et d'un seul côté de la droite fixe.

1028. Le point F est \e foyer de la parabole, la droite DD' est sa directrice. La droite MF est le rcgron vecteur du point M. La distance FL du foyer à la directrice se nomme le paramèire de la courbe, et on la représente par p.

1029. On peut aussi tracer la parabole par points.

En effet, prenons [Jig. 538) un point P quelconque 5ur la perpendiculaire FL abaissée du foyer sur la directrice. P^ le point P, menons une perpendiculaire à FL ou une |Mirallèle à la directrice, et du foyer F comme centre, avec PL pour rayoo, décrivons une circonférence qui coupera cette parallèle en deux points M et M' appartenant à la parabole, comme éqaidistants du foyer et de la directrice.