LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. SlQ

par le centre de la courbe une parallèle à la droite donnée» elle ne tombe pas dans les angles des asymptotes qui renferment l'hyperbole. En effet, pour que la perpendiculaire menée du foyer F à la droite donnée rencontre le cercle directeur F', il faut et il suffit que Tangle aigu de Ff avec Taxe transverse soit moindre que Tangle aigu que fait avec le même axe la tangente menée de F au cercle F'; or ces angles sont respectivement les compléments des angles aigus ô et 0 que Taxe transverse forme avec la droite donnée DD' et avec les asymptotes; on doit donc avoir

Si la condition est remplie, il y a deux solutions T et T'. Pour d=z 0, il n*y a plus qu'une solution : c'est l'asymptote à laquelle la droite donnée est alors parallèle.

Corollaires.

102i. Les deux tangentes parallèles à une droite donnée ont leurs points de contact symétriques par rapport au centre (993).

1025. Le produit des distances d* un foyer à deux tangentes parallèles ou le produit des distances des deux foyers à une même tangente est constant.

Comme pour l'ellipse (995).

Les constructions des n*"* 1020 et 1023 n'exigent pas que rhyperbole soit tracée (996).

PROBLÈME

1026. Connaissant les foyers F et F' et l'axe transverse d'une hyperbole, déterminer ses points de rencontre avec une droite donnée*

Même procédé que pour l'ellipse (997), seulement la discussion exige quelque attention.

Soient h l'hyperbole, d la droite donnée, d l'angle aigu de celte droite et de l'axe transverse, 0 l'angle aigu des asymptotes et du même axe.

320 GÉOMÉTRIE DANS l'kSPACB.

Los points communs à /i et à e/ sont les centres des cercles qui, touchant le cercle directeur F', passent par l'autre foyer F et par le point 9 symétrique de F par rapport à d. De plus, un point commun à A et à c/ appartient à Tune ou a Fautre branche de Thyperbole, suivant qde le cercle directeur P est extérieur au cercle tangent ou est enveloppé par ce cercle.

Cela posé :

1® Si i est inférieur à 0, d coupe h en deux points -situés sur deux branches distinctes; car la droite indéfinie F 9 étant alors extérieure au cercle F, il y a deux cercles tangents dont un seul enveloppe le cercle F'.

2° Si è est supérieur à 9, la droite indéfinie F 9 coupe le cercle F', et il y a trois cas à distinguer. F' 9 étant inférieur à lUf d ne rencontre pas h; car 9 est alors intérieur au cercle F', et il n'y a pas de cercle tangent. F' 9 étant égal à ^a, d touche h; car 9 est alors sur la circonférence F', et les deux cercles tangents se réduisent à un seul. Enfin, F'9 étant supérieur à la, d coupe h en deux points appartenant à une même branche; car 9 est alors extérieur au cercle F', et il y a deux cercles tangents qui enveloppent tous deux le cercle F' ou auxquels le cercle F' est à la fois extérieur, suivant que F' et 9 sont séparés ou non par le cercle F'.

3® Si i est égal à 9, la droite F 9 est tangente au cercle F', et il y a deux cas. Si d est une asymptote, elle a deux points communs à l'infini avec h, puisque le point 9 est alors sur la circonférence F' et que les deux cercles tangents se rédui* sent à la droite F 9. Si d n*est que parallèle à une asymptote^ elle a avec V hyperbole deux points communs, dont un seul à distance finie ; car le point 9 est alors extérieur au cercie F% et il y a deux cercles tangents dont Tun se réduit à U droite F 9.

Observons enfin qu'on peut donner d'autres formes aux énoncés dés conditions précédentes, en introduisant la considération, soit de la parallèle menée par le centre à la droite donnée, soit des tangentes parallèles à cette droite. Par exemple»

la condilion 6>Q peut être remplacée par l'une des suivantes : la parallèle à d menée par le centre doit être comprise dans les angles des asymptotes qui ne renferment pas la courbe, ou la courbe doit avoir des tangentes parallèles à d.