LIVRE Vlll. — LES GOURDES USUELLES

DD' (1039) ei sur le cercle décrii du point P comme centre avec PF comme rayon.

Ce cercle ei la directrice se coupent toujours, quand le point P esi extérieur à la courbe; car il est alors plus près de la directrice que du foyer (1031), et il y a deux solutions, qui se réduisent à une seule quand le point P est sur la parabole, ou disparaissent lorsqu'il est intérieur à la courbe.

Corollaires.

10V8. Cherchons la condition pour que les deux tangentes menées du point P à la parabole soient à angle droit.

Ces tangentes étant supposées à angle droit, comme elles sont respectivement perpendiculaires aux milieux des droites Fçet F(p', l'angle çFcp' est aussi droit; par suite, 9?' est un diamètre de la circonférence PF, et le point P est sur la directrice. Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à la parabole est donc la directrice.

Dans ce cas, l'angle PFM est droit ainsi que l'angle PFM' (1033] ; la corde des contacts MM' passe donc alors par le foyer et est perpendiculaire à PF.

1049. Les tangentes PM, PM', menées d'un point extérieur ^ à la parabole, font des angles égaux avec la droite qui joint ce point au foyer et avec la parallèle men'^e à taxe par ce point ; la droite qui va du foyer au point P est hissée^ triée de l'angle formé par les rayons vecteurs des points de contact M et M'.

Reportons-nous à la/gf. 547, et soit PU la parallèle menée à l'axe par le point P. La tangente PMT étant perpendiculaire sur le milieu de F9, comme la tangente PM'T' sur le milieu de F<p', les deux angles MPII, F^ç', ont leurs côtés respectivement perpendiculaires et sont égaux; la droite PM' est la bissectrice de l'angle 9'PF, et l'angle au centre M'P F, égil alors à Tangle inscrit F 99', l'est aussi à l'angle M PU. De plus, les angles PF.M, PFM' sont respectivement égaux aux angles P9M,P9'M'. Or, le triangle 9 P 9' étant isocèle, les angles P9M, P9'M' sont égaux comme composés d'angles égaux ; et leur égalité démontre celle des angles PFM, PFM\

GÊOIIBTRIB DÀN8 l'bSPACB.

PROBLÈME

1050. Mener à la parabole une tangente parallèle à une droite donnée.

Tout revieni encore à trouver le point 9 symétrique du foyer F par rapport à la tangente cherchée. Or, ce point se trouve à l'intersection de la directrice etde la perpendiculaire abaissée du foyer F sur la droite donnée. Il y a toujours une solution, et une seule.

SCOLIE

1051. Les constructions des n^* 1047 et 105) n'exigent pas que la courbe soit tracée : il sufût d'en connaître le foyer et la directrice.

PROBLÈME

1052. Connaissant le foyer P et la directrice Db' d'une parabole, déterminer ses points de rencontre avec une droite donnée LV.

Supposons le problème résolu, et prenons (Jiff. 548) le symétrique 9 du foyer F par rapport à LL'. SI Bf est l'un des

Kg. 548.

points de rencontre de la droite LU avec la courbe, on aura H 9= HF= MH, MU étant la perpendiculaire abaissée du point M sur la directrice. Le cercle décrit du point M comme centre* avec MF pour rayon, passe donc par les points F etf et est tangent à la directrice. La question est ainsi ramenée à trouver le centre M d'un cercle passant par deux points doo-