MF = MG = BL
D'ailleurs, l'interseclion du plan sécant et du parallèle BG est une droite DE perpendiculaire au plan méridien, et PD représente la distance du point M à la droite DE. Les deux triangles APL, ABD étant isocèles, puisqu'ils sont tous deux semblables au triangle SLL', on a
PD = BL, c'est-à-dire MF = PD.
La courue obtenue e.\t donc une parabole ajwit le point F pour fq)'er et la droite DE pour directrice,
' ScoLlB.
1087. Les sphères considérées dans la démonstration précédente peuvent, tout en restant inscrites au cône, cesser d'être tangentes au plan sécant qui les coupe alors suivant deux cercles. Les mêmes raisonnements étant applicables à ce cas, on arrive à cette proposition : Le lieu des points tels, que le rapport qui existe entre les tangentes menées de ces points à un cercle fixe et les distances de ces mêmes points à une droite fixe soit constant^ est une section conique dont la nature dépend de la valeur de ce rapport comparée à l'unité (1086).
THÉORÈME
1088. Placer une ellipse, une hjrperbole ou une parabole donnée sur un cône de révolution donné.
1** Si l'on se reporte à la^. 564, on voit qu'on connaît dans le triangle AA'H le grand axe AA' de l'ellipse donnée et sa distance focale AH, ainsi quej^l'anglo AIL^', complément du demi-angle au sommet du cône donné. La question revient donc à construire un triangle avec deux côtés et l'angle opposé à l'un deux. Comme l'angle donné est opposé au plus grandj des deux côtés donnés, ce triangle est complètement déterminé (146). Quand il sera construit, on élèvera une perpendiculaire sur
358 GÉOMÉTRIE DANS L'bSPACE.
le milieu de A' H, et la surface conique engendrée par AH en toarnant autour de cette perpendiculaire sera coupée suivant Tellipse donnée par un plan mené suivant AA' perpendiculairement au plan du triangle AA'H. On peut donc toujours placer une ellipse donnée sur un cane donné.
2* Si Ton se reporte à Idifig. 565, on voit qu'on connaît dans le triangle AA'H l'axe transverse AA' et la distance focale AH de l'hyperbole donnée, ainsi que Tangle AHA', complément du demi-angle au sommet da cône donné. Comme cet angle est opposé ici au plus petit des deux côtés donnés, le problème peut avoir deux solutions ou n'en avoir aucune (14^)- Pour qu'il soit possible, il faut que AA' surpasse la perpendiculaire abaissée du point A sur HA', c'est-à-dire qu'on ait, on appelant 2^ l'angle au sommet du cône et en posant (1000) AA' = sia, AH = ac,
9rt>2ccos0 ou cos&<-«
Mais, si l'on appelle 2 9 l'angle des deux asymptotes de l'hyperboie proposée, on a évidemment (1015)
- = cosO.
I^ condition cherchée est donc
cosp< cosO, ou, puisqu'il s'agit d'angles inférieurs à un droit,
p>9 ou 2^>29.
Donc, pour pouvoir placer une hyperbole donnée sur un cône de r^olution d nné^ il fmit que V angle au sommet du cône surpasse celui des deux cingles des asymptotes de l'hyperbole qui comprend In courbe.
y s l'on se reporte à la fig. 566, on voit que la droite OA est perpendiculaire à l'axe SO, d'après la détermination du point 0 et le paralléUsme des droites SL' et AP. Dans le triangle rectangle OBA, on coiui"» par suite le côtéAB = AD = ™, demi-paramètre de la parabole doanée
(1028), et l'angle BAO, complément du demi-angle au sonun«l du cône donné. Ce triangle est donc complètement déterminé (32). L'^Y'" construit, on élèvera OS perpendiculaire sur OA, et la surface comqo«
LIVHE Vlll. — LES CODBBKB USUELLES. SSq
engendrée par la rolalion de AB autour de SO sera coupée suivant la parabole doonée par un plan mené perpendiculairement à celui du Iriangle OBA et passant par la droite AP, tracée de manière que AO soit la bissectrice de l'angle SAP. On peut doue toujoart placer une paraboie donnée tur un cône dotmé.
ScouE.
1089. Le sommet d'un cène de révolution s'éloignent i l'in&ni dans la direction de l'aie, ce cône dégénère en cylindre de révolution. Dn cjrlùtdre ciratiaire droit est donc coupé suivant une ellipte par un plan tdcani tjuebvnque {\08Q, i").
C'est ce qu'on démontrera, du reale, direciement en adoptant la même marche que précédemment. Cette marche permettra de déterminer le grand axe, le foyer et les directrices de la section proposée. On en déduira iacileiaeDi que loutet les elliptes trouvées en coupant par un plaît quelconque an cylindre de révolution ont pour petit axe le diamètre de u cylindre.
On peut toujours placer une ellipse donnée sur un cylindre de révolution donné (1088, t*), lorsque le petit are de l'ellipse ett Égal au 'diamètre du e/lindre.
THÉORÈME
1090. Si l'on coupe une surface gauche de révolulion par un plan, la projection de l'intersection sur un plan perpendiculaire à l'axe de la atrface est une section conique (Jrg. 567).
On appelle turfaee gauche de révolution la surface engendrée par une drt^te non située dans un même plan avec l'axe autour duquel elle tourne.
36o GfiOXÉTBIB DANS l'bSPAGB.
Le plus petit parallèle de la surface, engendré par la plus courte dislance de la génératrice à l'axe (538), porte le nom de carde de gorge de la surface. La projection de la génératrice sur le plan du cercle de gorge est tangente à ce cercle, car, cette génératrice étant perpendiculaire é Textrémité du rayon du cercle de gorge, il en est de môme de sa projection (331).
Cela posé, représentons la surface par son axe OX, son cercle de gorge OG et l'une de ses génératrices GG\ Coupons-la par un plan HLR. Si ce plan rencontre en M la génératrice GG', M sera un point de la courbe d'intersection. Sa projection sur le plan du cercle de gorge sera en P, sur la tangente GP à ce cercle. La génératrice faisant un angle constant avec le plan du cercle de gorge, le rapport de PG à MF reste constant.
Menons par le point M la ligne de plus grande pente MH (555, 556) du plan HLR par rapport au plan du cercle de gorge, et traçons la droite PH. I^ droite MH faisant de même un angle constant avec le plan du cercle de gorge, le rapport de PH à MP reste constant ; le rapport de PG i PH est donc aussi constant, et le théorème est démontré (1087).
Corollaires.
1091. Si le rayon du cercle de gorge devient nul, la surface gauche de révolution dégénère en un cône. Donc, la projection d'une xection conique sur un plan perpendiculaire à l'axe du cône de révolution sur lequel elle est placée est une section conique^ dont l'un des foyers est la projection du sommet de cône sur le plan de projection et dont la directrice cor' respondante est la projection sur le même plan de l'intersection du plan sécant avec le plan mené p€ur le sommet du cône parallèlement au plan de projection,
PROBLÈME
1092. Construire une ellipse on une hyperbole dont on connaît Vexcen^
tricité -> l'un des foyers , et deux points ou deux tangentes^ ou u^e
tangente et son point de contact.
Nous résolvons ce problème pour montrer de quelle utilité peut être la considération des directrices.
i*" Soient F le foyer donné, A et B les deux points donnés; déterminons les longueurs r et r' par les conditions
AF c
BF c
LIVRK Vlll. — LES COURBES UfCELLBS. 36l
puis décrivons deux circonférences des points  et B comme centres aveo les rayons r et v*, La directrice correspondant au foyer F sera une tan< gente commune aux circonférences décrites. En abaissant sur cette tangente DE une perpendiculaire FD et en marquant sur cette perpendiculaire les deux points A et A' qui la divisent dans le rapport -j on aura Taxe focal AA' de la SMrtion conique ; sa distance focale FF' s'obtiendra en prenant dans le sens convenable, suivant la valeur de -* A'F' = AF.
La question sera alors ramenée à construire une ellipse ou une hyperbole, connaissant ses axes.
a"* Soient F le foyer donné, MT, M'T, les deux tangentes données (fig* 568). Déterminons les points 7 et 7' symétriques du foyer par rap-
Fig. 568.
port à ces tangentes. La perpendiculaire indéfinie RF' élevée à ^^'par son milieu R est un lieu de second foyer F' (984, 1010). Ce second foyer fait également partie du lieu dont le rapport des distances aux deux points
ûxes F et f est égal à - • Nous déterminerons donc les points G et G' qui
divisent Ff dans ce même rapport, et sur GG' comme diamètre nous décrirons ( 187 ) une circonférence qui coupera RF' au point cherché. 11 ne restera plus qu'à construire une ellipse ou une hyperbole, connaissant la distance focale FF et Taxe focal F 7 de la courbe.
y Soient F le foyer donné et MT la tangente donnée qui doit toucher la conique au point donné M. Déterminons le symétrique f du foyer par rapport i MT ;en joignant 7 M, nous aurons un lieu du second foyer F' (987. 1012). Divisons comme précédemment \^\ F7, aux points G et G', dans
le rapport donné-* La circonférence décrite sur GG' comme diamètre
viendra couper en F' la droite f M prolongée, et le problème sera résolu.
GÉOMÉTRIE DANS L*B8PÀCB.
