VIL — PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES

DE L'HÉLICK.

1093. Soit un cylindre droit à base quelconque, mais fermée. On peut déterminer un point quelconque de la surface de ce cylindre à Taide de coordonnées définies de la manière suivante.

Considérons une section droite AA' {Jig. 569) qui coupe au

Fig. 569.

\ iMi

point A la génératrice GG\ et prenons ce point A pour origine des arcs comptés sur le périmètre de cette section droite. Ces arcs seront positifs dans un sens, négatifs en sens opposé.

Cela poséy soient M un point quelconque de la surface cylindrique, et MP la génératrice qui passe par ce point et qui rencontre en P la section AA' : la longueur MP est l'ordonnée ;^ du point M et Tare AP est son abscisse curviligne x.

Comme le point M peut appartenir à une courbe qui décrit plusieurs circonvolutions autour du cylindre, son abscisse peut dépasser le périmètre de la section AA' et comprendre ce périmètre un nombre quelconque de fois.

En suivant la courbe proposée à partir de son premier polol de rencontre avec la génératrice UG' et en comptant combien de fois elle coupe cette génératrice avant qu'on parvienne au

LITRB TIII. — LES COURBES USUELLES. 363

point M, on devra ajouter le périmètre de AA' ce même nombre de fois à Tare qui sépare le point A du pied de l'ordonnée du point M, pour avoir Tabscisse curviligne de ce point.

1094. Parmi toutes les courbes qu^on peut ainsi tracer sur la surface d'un cylindre droit, Vhélice est définie par celle condition que l'ordonnée d'un point est proportionnelle à son abscisse curviligne,

L'équaiion de Thélice, dans le système de coordonnées adopté [1093], est donc

Désignons par C le périmètre de la section droite AA' (fig. 569). X variant de zéro à C, on a un premier arc d'hélice qui part du point A et qui» après avoir coupé toutes les génératrices du cylindre, vient rencontrer de nouveau en Ai la génératrice GG'. X variant de C à 2C, de 2C à 3C, . . ., on a de nouveaux arcs de courbe allant de Ai à A}, de Ai à As, .... Les valeurs extrêmes de j sont, en même temps, o,/fC, a/rC, 3ArC, .... Les distances AAi, A. Ai, A3A3, . . ., qui séparent les points où l'hélice vient rencontrer une même génératrice GG', sont donc égales. Celte distance, constante quelle que soit la génératrice considérée, est ce qu'on appelle le pas de l'hélice. Les arcs de courbe AA,, A, Ai, A, As, . . . , sont de même égaux entre eux; ils ne sont évidemment que la reproduction du premier arc AA, qu'on ferait glisser successivement le long du cylindre d une hauteur égale au pas. Ces arcs égaux, dans lesquels Thrlice se irouve ainsi naturellement partagée, constituent les spires de la courbe.

THÉORÈME

1095. Lorsqu'on effectue le développement d'une surface cylindrique sur l'un de ses plans tangents, toute hélice tracée sur la surface se développe suivant une ligne droite [fig* 57o).

Soit [Jig. 670) l'hélice AMB, ; pour deux points quelconques M et M' do celte courbe, on a la relation

MP MF Ai* '^ Al>' '

GÊOHfiTRIR DANS l'eSPAGB.

Si Ton suppose qu'on développe h surface du cylindre dans le plan tangeni suivant la généralrice AB, (744» 873], la circonférence de la section droite en A s'appliquera sur la droite A» menée perpendiculairement à AB, dans ce plan, et les arcs

Fîg. 570.

AP et AP' seront rectifiés en AP, et AF,. Les points M et M' viendront d'ailleurs se placer en Mi et en M', sur les perpendiculaires élevées à Aa en Piet enF^, et Ton aura