I. - HOMOGRAPHIE ET INYOLUTION

DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES.

1 100. On donne le nom de division à une suite quelconque de points situés en ligne droite. Sur cette droite, qu*on appelle biue de la division, on choisit à volonté une origine fixe a, et Ton indique sans ambiguïté la position d'un point quelconque m en donnant le segment am en grandeur et en signe.

Dans un grand nombre de questions de Géométrie, on est conduit à considérer deux divisions dont les points se correspondent un à un suivant une loi déterminée ; on appelle alors homologues deux points correspondants quelconques, et on les désigne par une même lettre, non accentuée pour le point de la première division, et affectée d'un accent pour le point de la seconde. Soient L et L' les deux bases [Jig, 57a), m et ni deux points homologues ; a Torigine prise sur la base L et ^^ l'origine choisie sur la base L' ('); la loi suivant laquelle les points homologues des deux divisions se correspondent s'exprimera alors par une équation entre les segments am et b'm'.

On dit que deux divisions sont fwniographiques lorsque l'équation qui exprime la loi de correspondance des poinls homologues m et m' est du

(*) Nous tupposonfl, pour plus d^ généralité, que lei originel a et b* ne •ont pu nécesMirement deux pointi homologues.

368 iSÊOHfiTBIS ihnis l'rsiucbw <

premier degré par rapport à chacun des segments am et l/tnf^ c*est-^dire est de la forme

^i), A.rr/7î.ô'/;i'-+-B.tf/w -f- C.^'/w'-h D = o,

A, B, C, D, étant des constantes données.

Deux divisions homographiques d*une troisième sont homographiqucs entre elles; car soit une autre division homographique de la première; en désignant par d* l'origine et par //l' l'homologne de m, on aura

k^.am.c'nf -¥■ h^.ani -♦-€,.<•*/«*-»- D, = o,

et, comme Télîmination de am entre les deux relations précédentes conduit évidemment à une équation de même forme entre b'm' et rV, les deux divisions engendrées par les points m' et m' sont bomographiques.

Souvent, au lieu de donner les quantités A, B, Ci ^y on donne des couples de poitits homologues. Or, Téquation (i) ne renferme en réalité que trois coefficients arbitraires, qui sont les rapports de trois quelconques des quantités A, B, C, D, à la quatrième; d'ailleurs, donner un couple de points homologues, c'est donner une valeur de am et la valeur correspondante de ^/72',c*e9t-à-dire une équation du premier degré entre les trois rapports considérés. Pour déterminer ces rapports, il est donc nécessaire et suffisant d'avoir trois équations de ce genre, c'est-à-dire de connaître trois couples de points correspondants. Ainsi, //ri/x diviàçns bomographiques sont déterminées par trois roupies de points homahgites,

ilOl. Écartons, pour le moment, le cas particulier où A est nul; nous pourrons alors diviser par A, et la relation homographique (i) prendra la forme

(î») am,y m' — \,am — ^,b'm* -4- v = o.

Les coefficients > et ft ont des significations géométriques remarquables. Nous désignerons toujours, dans la suite, par I le point de la prefflidiv division qui est l'homologue du point situé k Tinfini dans la seconde, ei par J' le point de la seconde division qui répond à l'infini de la première. Si, dans la relittion (a), en fait am infini après avoir divisé par ai»! ^ trouve

^'J'-X = o, d'où \^b'y,

et l'on a de même, en faisant b*m' infini,

fll — ^ = o, d'où fi = ^2l.

La relation homographique (1) peut être transformée de bien des nwnières. Voici les deua autres formes les plus utiles s

IITBH TIII. — LBS GOirenS USCELtM. SÔQ

1* L'équation (a) peut s'écrire

(fl/w — fi)(6'/w' — X) = X-,

k étant une constante; en remplaçant alors > et fi par les valeurs c:< dessus, on trouve

formule très-usuelle ; car, dans les applications, on détermine en général très-aisément les points I et J', auxquels on donne le nom de points //• mites,

2® Soient a, by r, trois points choisis à volonté dans la première division ; ii\ b\ c\ leurs homologues dans la seconde, et //t, m\ un quatrième couple quelconque de points correspondants. La relation ( 3 ) donne

'<^' = 77-7» I<=*m> d*OÙ en = I<i — Ir = — ., , ., , rV. y a Jr J rt.J f

En formant les valeurs analogues de cby ma^ mb, et les portant dans l'expression du rapport anharmoniquo

[abnn] ou -r : — j j cb tiib

on trome

(4) (abcm)^[iib'c'm').

Donc, pour que deux dmshns soient komographiques, il faut et il suffit que tout système de quatre points de la première ait le même rapport anktirmonique que les quatre points homologues de la seconde. C'est cetlo propriété que M. Chasles prend pour définition dans ^Géométrie su/zérieure,

1102. Examinons maintenant le cas où Â est nul. La relation homographique (i) se réduit alors à

B.ant -f- C.b' w' -h D = o,

ou, comme B cl C ne sauraient être nuls à la fois, à

am=>k{b'm''-k),

h et k étant deux constantes. Lorsque m est en a, le premier membre s'annule, et, comme m' coïncide alors avec l'homologue /l'de /r. on voit que h a. b^a' et, par suite, que l'équation précédente peut s'écrire

am^k(b*m' ^b'a*] ou am^k.a'm\

Donc tes deux droites L et V sont divisées en parties proportionnelles, R. 61 Dg C. — Tr, lie Géom, (II* Pnrtie). 2!\

370 GÊ0MÉTB1E DANS l'eSPAGI.

On dit, dans ce cas, que les deux divisions homograpbiques sont sent" blnhles.

Dans deux dMshns semblables y les points à Vinfini sont homolngues; car, d'après l'équation précédente, am et a' m' deviennent infinis en même temps. Réciproquement, detijc dwisions homographiques dont les points à r infini se correspondent sont semblables ; car, si dans l'équalion (1), préalablement divisée par am.b* m\ on fait à la fois a/71 et V m* infinis, 00 voit que A = o.

Lorsque le coefficient h qui figure dans la relation précédente est égal à -^ I, les deux divisions sont dites égales; elles sont égales et de même sens pour ^ = i , égales et de sens contraires pour / = — i .

Pour deux divisions semblables, la relation (3) n*a plus de sens ; mais il est évident que la relation (4) subsiste encore.

1103. Deux divisions a^r//?/?. . . , a,^,<?,/w,/7,. . . , sxmiàWe^homohgiques, lorsqu'elles sont la perspective Tune de l'autre, c'est-à-dire lorsque ]es droites hb^^ cr^^ . . . , ;w/;i,, . . . , qui joignent les points bomologues concourent en un même point S (Jfg. 57a).

Fig. 572.

Deux divisions homohgiques sont /tomographiques, puisque le rapport anharmonique est une expression projeclive; le point d'intersection {a. ^ù des deux bases L et L, est alors un point homologue commun. Réciproquement, deux divisions homographiques qui ont un point Immologue commun sont homohgiques; c'est le théorème fondamental du n** 324 avec un autre énoncé.

On déduit de là un moyen très simple pour construire deux dinsions homographiques dont on donne trois couples de points homologucS' Soient (<i, a'), [b, ^), (c, c'), les trois couples donnés, et m' un point quelconque de la deuxième division ; il s'agit de trouver le pQint ut de (^ première division qui est l'homologue de m\ À cet effet, ou portera

LiVRK VIII. — LES COURinS USUELLES. 3'jl

la division L', A Taide d*ane bande de papier, sur une droite quelconque L, passant para, de façon que a* vienne en a\ ^,, r^, /w,, étant les positions que prennentalors b', c\ m\ on joindra m^ au point de concours S des droites M, et cc^, et l'intersection des droites S/w, et L sera le point demandé m. Il est clair, en effet, que le système abcm est homologique do système 0,6,r,/?i,, et, par suite, homograj bique de son éga-