DIVISIONS HOUOGRAPBIQUBS DE MÊME BASE
1104. Deux divisions homographiques peuvent être situées sur une même droite L; on appelle 2\ot% point double tout point de cette droite qui, considérée comme appartenant à la première division, ooîncideavec son homologue de Tautre division.
Deux divisions homographiques de même base, qui ont trois points doubles, coïncident; car rr, 6, c, étant les trois points doubles, et(/w, w') un couple quelconque de points homologues, Tégalité des rapports anharmoniques (nbcm) et ( abcm') exigent que m et m' coïncident. 11 suit de là que deujc divisions homographiques distinctes et tracées sur une même droite ne peuvent avoir plus de deux points doubles,
1105. Pour étudier plus complètement la question des points doubles, prenons pour origine commune le milieu 0 de la droite iJ' qui unit les points homologues de TinGni (fg» 673) ; on aura alors OJ' = • 01, c*est-
Fig. 573.
t I 0 rX^r /ô'^T
à-dire ( 1101 ) X = — fx, et l'homographie des deux divisions s'exprimera par réquation
0/w.Om' — X(0/ii — 0/w')-»-v-= o,
ou
(5) 0/w.Ow' -f-X.m/?i'-h V = o.
Nous savons d'ailleurs que X = OJ' = — 01 ; et, pour avoir la signiCcation géométrique de v, il sufRt de supposer que m est en 0; car alors, />/ coïncidant avec Thomologuo 0' de 0, l'équation (OdonneX. 00' -h v=o, d'où v = -0J',0a = 01.00'.
Cela posé, pour qu*un point m soit double, c'est-à-dire pour qu'il coïu-
37^ GÉOMÉTRIE DAMS L'eSPACU.
cide avec son homologue ///, il faut et il suffit qu'on ait, en vertu de Téquation {^y)^
oJii -hJ = o ou 0/// = d=v^OJ'.OU'.
On conclut de là que elcujr divisions homogrûpfihjucs fie même bnse ont tOïfjaurÉ deux points doubles réels ou imaginaires y el que le milieu dn points doubles coïnciile avec le milieu du segment W formé prtr les j^>(f!'< limites.
Les points doubles sont imaginaires lorsque les segmenta OJ'et 00' ont dos signes contraires, c'e8t-à-<iire lorsque 0' et J' sont de part et d*autie d0O. 11^ fiN>nt réels lorsque O'elJ' sont d'an mètûe côté da point Dedans ce cas, en menant par 0 une tangente au cefrcle dë<!Tit surO'J'
comme diamètre, puis rabattant cet^e tangente 0T== v/ÔO'-OJ' sur /a droite L en Otf et en 0/, on a les deux points doubles e et/.
1100. Pour que deux divisions hony>gr(t^)/iiqucs de mvme hnsc soitut semblables, il faut et il sujjit (il02) que Vun des points doubles soit à r/n/îni.
On voit immédiatement que : i® pour que. deux divisions soient égaies et de même sens, il faut et il suffit que les deux points doubles soient n r-rttfini ; •2.'* pour que thux divisions soient égales et de senjr eoatnùreJf d faut et il suffit que l'un des points doubles soit à l'infini et tfue l*' second pohit doiéte sort le milieu de tmu les segments m/^ formel ptir deux points fiamùlogftes quekompœs,
1107. Cette llicorie des points doubles nous amène naturellement à dire un mot de la détermination simultanée de deux points et du rôlo desiniaginaires en Géométrie.
Soient (y%, 200) une origine fixe 0 sur une droite X'X, el A et B deux points quelconques de cette droite. Au lieu de donner les scgtnonts OA et OBqui détermineraient individuellement les points A el B (303), on peut donner la demi-somme/? et le produit q de ces deux seginenl^, qui sont alors les racines de l'équation du second degré
X* — ipx-{-q= o.
Les nombres/? et q sont dits \es éléments du eouple (A, B) ;teur connaissance détermine simultanément les deux points A et B.
Les nombres p et // étant supposés réels, les segmtntsOAet OBf«w*^ réels ou imaginaires (oonjugoés), s^on t|iie la quantité p*^q9fr^V^' tive ou négative ; dans ce dernier cas, les pointa A et B cessent d'eu***"' et Ton dit qu'ils sont imnginitires.
Deux points imaginaires A et B, ainsi définis, peuvent avoir dw '*^"'
