Inscrire un cercle dans un triangle donné ABC

On dit qu'un polygone est circonscrit a un cercle lorsque chacun de ses côtés est tangent à la circonférence; le cercle est alors inscrit dans le polygone.

Cela posé, soit ABC (Jig. 117) le triangle proposé dans lequel il faui inscrire un cercle. Supposons le problème résolu. La droite AO, qui joint le centre du cercle cherché au point de rencontre A des deux tangentes AD et A£, est, d'après le problème précédent, la bissectrice de l'angle A du triangle. On voit de même que le point 0 doit encore se trouver sur les bissectrices BO, CO, des angles B et C. D'après cela, on mènera deux de ces bissectrices» et de leur intersection 0 comme

Fig. 117.

centre, avec une ouverture de compas égale à la longueur commune des perpendiculaires OD, OE, OF, abaissées de ce point sur les côtés, on décrira une circonférence qui touchera en D, E, F, les côtés du triangle donné.

88 GÊOMfiTRIE PLAKB.

SCOLIE

161. Il résulte de cetie démonstralion que les bissectrice^ des trois angles d'un triangle concourent en un même point. On voit d'une nrianière analogue que les bissectrices des angles extérieurs d'un triangle ABC (Jfig. ii8) forment un secomi

Fiff. ii8.

triangle O'O'O* dont les sommets sont situés sur les bissectrices des angles inicrieurs. Chacun de ces sommets est le centre d'un cercle exînscrii, c'est-à-dire d'un cercle tangent à l'un des côtés du triangle et aux prolongements des deux autres côtés. Il existe donc, en général, quatre circonférences tangentes à trois droites données.

Si l'on désigne par a, b, c les côtés BC, CA, ÂB du triangle ABC, et par p le demi-périmètre de ce triangle, on aura, pour les distances du sommet A aux points ou la droite AB touche les quatre cercles :

AM=:p, AD =:/!-- a, AI=p — 6, AK=/; — c. En eiïet, l'égalité

a/; = AB -f- BH -f- HC -+- CA = AB -+- BM -+- CN -h CA

= AM-f-AN = 2AM

donne d'abord «

AM 1= p.