LIVRE YIII. — * LBS COURBES CStlËLLES

homologues de deux faisceaux homographiqucs, qui sont les projections (les doux faisceaux générateurs do la conique C. La proposition résulte encore de ce qpie la courbe C est Tenvcloppe des droites joignant les ()oints correspondants de deux divisions homographiqucs, qui sont les projections des deux divisions qui définissent la conique C comme enveloppe.

1 133. Les deiuc faisceaux homographiques qui déterminent la conique ont deux couples de r€tjrons parallèles (réels ou imaginaires); car, si Ton transporte l'un des faisceaux parallèlement à lui-même, de façon que son centre coïncide avec le centre de l'autre faisoeau, on a deux faisceaux homographiques ooncoutriques qui ont (1109) deux rayon» doubles (réels ou imaginaires).

Si les deux couples de rayons parallèles sont imaginaires, la courbe na aucun point à l'infini; elle est fermée, et nous lui donnerons le nom d'ellipse^ en nou^ réservant de démontrer plus tard son identité avec Tellipse définie au n" 973.

Si les deux couples de rayona parallMos sont réels, la eourbe a deux pointa ai* infini; nous lui donnerons le nom à! hyperbole^ et nous démontrerons plus tard son identité avec l'hyperbole défii^ie au n"* 999.

Enfin, ai les doux couples de rayons parallèles coïncident, la courbe a (irux points à l'infini confondus en un seul, et, par suite, elle est tangente à La droite de l*infiui; nous loi donnerons le nom de parabole^ et nous (iomontrerona plus lard son identité avec la parabole définie au n° 1027.

Tels sont les trois genres de coniques. Comme variétés de ces courbes, on peut avoir :

t** Deux droites (réelles, coïncidentes ou imaginaires), lorsque les deux faisceaux sont concentriques (1109), ou lorsque la droite qui unit leurs centres est un rayon homologue commun (1108);

2* lïenx points (réels, coïncidents ou imaginaires), lorsque les deux ilivisions ont la mémo base (1104), ou lorsque le point d'intersection des deux bases est un point homologue commun (1103).

113 i. On dit qu'une courbe est algébrique ou transcendante anivant que son équation en coordonnées rectilignes x Qi y est algébrique ou iranscendanto. On appelle ordre d'une courbe algébrique le degré en .^r <'l y (le son équation préalablement rendue rationnelle et entière par rapport à ces variables. Pour que cette définition ne soit paa eoairadie* loire, il faut montrer que le degré de l'équation est indépendant de la {K)sition de la conrbe par rapport aux axes de coordonnées. C*cst ce ({ue nous allons établir.

(k^QstdérooB une droite située d'une manière quelconque par rapport aux axes coordonnés ox et oy. Soient M, M', Af,. . ., divers points do rettodrolte,P, P'P*, . . . , les extrémités de leursabscisseSjCtQ, Q',y'

3q^ QÊOaiÉTItlJS DANS L^ESPAGE*

les extrémités de leurs ordonnées comptées sur oj-. Les doux divisions PP'P',. . ., QQ'Q*, . . .1 sont homographiquos et semblables, car chacune d'elles est évidemment semblable (1102) à la division M^FM', . . . ; il y a donc entre x = oP etj = oQ une relation horaographique privée di; termes en xjr, c'est-à-dire que les coordonnées d'un point quelconque M de la droite sont liées constamment par une équation du premier degrtv

L'équation d'une ligne droite étant du premier degré, quelle que s<iii la situation de cette droite par rapport aux axes coordonnés, it faui nécessairement que, si ^ et j sont les coordonnées d'un point par ni*port à certains axesjox, et jc' et y les coordonnées du même point par rapport à d'autres axes y'ox\ x çX y soient des fonctions du prcmi t degré de x' et j'. Par suite, la substitution de ces valeurs de x et.r d^nune équation algébrique en x et j n'altérera pas le degré de cette éqn,ition. En d'autres termes, Tordre de la courbe représentée par rï»ile équation sera le môme, quels que soient les axes auxquels on la rapports.

Une courbe algébrique d'ordre n est coupée en n points {réels ou itna* ginaires) par une droite quelconque. En effet, en prenant celte droite pour axe des x^ l'équation de la courbe sera toujours du degré n d'apn*^ ce qui précède; et, si l'on fait ^ = o, l'équation se réduira à une équation du degré n en x^ qui donnera les abscisses des points communs à la courbe et à la droite; or, on sait par l'Algèbre qu'une équation algébrique rationnelle et entière du degré nkn racines réelles ou imaginaire. Ainsi, V ordre d'une courbe algébrique exprime le 'nombre des points suiç'ant lesquels cette courbe est rencontrée par une droite quelconque.

Les coniques sont donc des courbes du second ordre (1131). Inversement, toute courbe du second ordre est une conique; car, l'équation générale du second degré à deux variables x et^ ne renfermant que cinq coefGcients arbitraires, on voit que cinq points déterminent une conrbe du second ordre; mais, par ces cinq points, on peut faire passer une conique et une seule ( 1 132); et, comme cette conique est du second ordre, elle ne diffère pas de la courbe proposée.

i 135. Les théorèmes de Pascal (328) et de Desargues ( 1 121 ), les propositions corrélatives ainsi que leurs corollaires sont applicables aux coniques; les dém<Hxstra tiens données auxn"» 328,329, 1121, 1122, stâbsistent sans modification.

Le Ibéorème de Desargues a été généralisé par Sturm(.^fiiMi/ei de Gergonne, U XVII). Considérons une suite de coniques circonscritesà unmèmr quadrilatère : soient aa', bb\ cc\ ... , les segments que ces coniquas interceptent sur une transversale quelconque L, et pp\ qq\ les segmenta de cette même droite compris entre les deux couples décalés opposés do quadrilatère. Les deux couples de points(p,p' ), (^, q' )détermineQt sur ladroili" L une involution à laquelle appartient, en vertu du théorème de Desargu<^.<,