LIVRE VIIÏ. —, lES COCVBRS l SUELLES

deux points doubles réels ou imagiaaires.

a** Que la courbe passe par les centres P etV des deux faisceaux ; car la droite PF^ considérée comme un rayon du faisceau P, rencontre en P' le rayon homologue du faisceau P'. On voit de môme que la courbe passe en P.

3*" Que la tangente en P est le rqyvn du faisceau"^ ^ qui est l^ homologue lie la droite P'P considérée comme rayon du faisceau P'; car, lorsque le point a de la courbe vient en Py le rayon Pa devient langent en P et son homologue Va vient se confondre avec P'P. De même, la tangente en P' est le rayon tlu faisceau P qui est l'homologue de la droite PP' considérée comme rayon du faisceau P.

Cela posé, a par le point de con- » cours 0 des tangentes en P et » en P' à la courbe considérée Pa P', » menons dans l'espace une droite » quelconque 0 2 ; dans l 'angle z OP , n inscrivons un cercle tangent à OP n au point P, et désignons par Q le » point où ce cercle touche Oz,

» a étant un point quelconque de » la courbe P/»P', menons P'<i qui n coupe OP en m, puis Qm qui ren- » contre le cercle en a'. Quand le » point a décrit la courbe, les B droites Ya et Qa* engendrent » deux faisceaux homographiques ; D maisiesfaisceauxdécritsparPâ'et s Qn'8onthomographiqaes(1l.')0), tt et il en est de même par hypo-

divisions sont homographiques ; ils ontdonc deux rayons doubles (réels ou imaginaires).

a° Que la courbe est tangente aux bases Ox et Oy des deux divisions; car la droite Oj: unit deux points homologues des deux dix isîons, sa* voir : le point 0 ooneidéré comme appartenant à la division Oy et le point homologue de la division Ox, On voit de JoAme que .la courbe touche 0^.

3* Que le point de contact P de la tangente 0 X est le point gui, sur cette droite, répond au point 0 con" sidéré comme appartenant à la division Oy ; car, lorsque la tangente %am se confond avec Ou:, le pointa devient le point de contact P el son homologue a arrive en 0. De même, le point de contact P' de la tangente Oyest l'Iutmologue du point 0 considéré comme appartenant à la division Ox,

Gela posé, par le point 0 menons dans l'espace une droite quelconque Oz; inscrivons dans l'angle zOx un cercle tangent à Ox en P, et désignons par Q son contact avec Oz.

a étant un point quelconque de la courbe Pa P', menons la tangente correspondante qui coupe 0 j: en m et 0/en a ; puis, par m, menons la tangente mri' au cercle Qa'P, et dé* signons par a! le point où cette tangente coupe Oz. Quand le point a décrit la courbe P^P', les points a et/n tracent sur Oxet Ox deuxdivisionsqui) par hypothèse, sont homo-

GËOSIÊTRIE DAX8 l'eSPàCB.

-» thèse des faiscea ux engendrés par »» Pc/ et ?*n. Donc \e$ droites Pa • et P a' engendrent deux faisceaux » homographiques, et, par suite, les I) points a et a', où les rayons mo- » biles Pfl et Pc/' rencontrent les » droites fixes OP' et OQ, forment B sur ces droites deux divisions hon raograpbiques. Les points?' et Q » sont deux points homologues de » œs deux divisions [m est alors » en 0) ; de plus, le point 0 est un n point correspondant commun (m n est alors en P). Donc (1103) la » droite aa' coupe la droite fixe QP' » en un point fixe S.

9 Parconséquent, ToBil étantplacé n en Sf la droite P'//i sera la pro* » Jection de Q/'/, et Pa sera celle » de P 2c' ; donc a sera la projection f> de a' et, enfin, la courbe propor sée Pc/P' sera la projection du » cercle Pw'Q (')•

graphiques ; les divisions tracées sur Ox et 0^ par m et a' «ont ans» bomographjques (1190); donc \& points a et «' décrivent sur O.r et Oz deux divisions homographiques.

Les points P' et Q sont deux points homologues de ces deux divisions [m est alors en 0) ; de plus, le point 0 est un point correspondant commun ( m est alors en P). Donc, la droite mobile aa' coupe (1103) la droite fî!Le QP' en un point fixe S.

Par conséquent, Toeil étantplacé on S, ia droite xm sera la projection de «'m, et, comme la première enveloppe la courbe P/iF et quels seconde enveloppe le cercle Qa' P, on voit que la courbe PnP' est la projection du cercle F ^Q.

113:2. Les principales propriétés des coniques résultent aisément de ce double mode de génération. Ces deux générations, l'une par point, TautrH par enveloppe, étant con-élatives, lorsque, en partant de Tune d'elles, on aura démontré un théorème, il suffira, pour démontrer le théorème correlatif, de partir de l'autre mode de génération .et de faire des raisonne^ ments corrélatifs des premiers.

Cimi points déterminent une conique ; car, après avoir pris deux de ces points pour centres des deux faisceaux générateurs, il suffît de joindrechacund'eux aux trois autres points pour avoir trois couples de rayons homologues.

Cing tangeaies détermine/H s/ie conique; car, en considérant deux de ces tangentes comme fixes, 1rs trois autres traceront sur elles tn»i ^ couples de points homologues des deux divisions homographiques qui déterminent la conique.

n suit de là que ia projection C d'une conique C sur un pian quelconque P ne passant pas par le centre de projection efi encure u/n* conique. En eflet, la courbe G' est le lieu des intersections des rayon 4

(') Eiijoiic KoiLiiK, ïiuUeîiii (le ia Société Philomathiquc, t« juiUci iii<>S,