PÔLE ET POLAIRE DANS LES CONIQUES

\ i36. Si par un point 0 pris dans le plan d'une conique on mène une sécante qui rencontre la courbe en deux points m et m' {réels ou imaginaires)^ et si l'on détermine le conjugué harmonique 0' du point 0 par rapport au segment mni\ le lieu du point 0', lorsque la sécante tourne autour du point 0, est une ligne droite (fig, 583 ).

Fijf. 5H3.

,--' — aiw

En elTot, menons deux sécantes Gxcs Oaa'yObb^ et désignons par a et a' les points où la transversale 0mm' coupe les côtés opposés ab et a'b' du quadrilatère inscrit ab b'a'. D'après le théorème do Desargues (1121), le point 0 est un point double de Tinvolution déterminée par les deux couples im^m')^ («i*')î or» par hypothèse,0'eBt le conjugué harmonique de 0 par rapport au segment mm'\ c'est donc Tautro point double, et, par suite, il est aussi le conjugué harmonique de 0 par rapport au segment sa' ; donc, quand la transversale 0 mm' tourne autour de 0, le point O'décritla polaire du point 0 par rapport à l'angle bub' formé par les droites fixes ab et a' b'.

Le point 0 et la droite f/ 0' son t dits/7&/e et;7oi^/rcr par rapport à la conique.

En observant que la polaire do 0 par rapport à l'angle ^i/6' renferme (337) le point d'intersection des droites ab' et ba\ on voit, par la démonstration môme qui précède, que : Si par un point 0 pris dans le plan d'une conique on mène deux sécantes Oaa'y Obb', et si l'on prend les points de rencontre u et ç des droites qui joignent deux à deux les extrémités des fardes aa* et bb\ le lieu des points u et c, lorsqu'on fait varier les se* rantes Ofra\ ObU^ est la polaire du point O par rapport à la conique.

396 GÉOMÉTRIE DANS i/eSPACE.

Quand les droites Ona', OU), se confondent, les cordes/?^, o L*, sonlVtangentes en a et // ; donc, si par un point 0 pris dans le plan d'une t-onique on mène une sécante Oaà et les tangentes at^ a't% aux points a et n où elle rencontre la conique, le lieu du point de concours t de ces tangent' f, lorsque la transversale tourne autour de 0, est la polaire de ce point 0.

La polaire est la corde de contact des tangentes issues du pôle: car, au point de contact k d'une tangente issue du pôle, les trois points m in\ 0', sont réunis. Par suite, la polaire d'un point de la conique est la tangente en ce point, et, inversement, le pôle d'une tangente est son point de contact,

H37. Les polaires de tous les points d'une droite passent par te pôle de cette droite, et, inversement, les pôles tk toutes les drohes quipoaeni par un point sont situés sur la polaire de ce point,

Ed effet, soient [fig. 584) un point  et une droite L qui sont pôle et

Fie. 58<.

polaire par rapport à une conique C. A' étant un point quelconque àe !.. la droite A A' coupe la conique en deux points a et (5 (réels ou imapnaires), et A et A' sont conjugués harmoniques par rapport à ap; donc le point A appartient à la polaire L' de A'. Ainsi la polaire d'un point quelconque A' de L passe par A, et, inversement, le pôle A d'une droite quelconque L passant par A' est sur la polaire L' du point A'.

Il résulte de là que toute droite a pour pôle V intersection des polaires de deux de sa points, et que tout point a pour polaire la droite qui joint les pôles de deux droites issues de ce point,

il38. La polaire d'un point 0 coupe la conique eo deux points réeii

CH imaginaires, qui sont les points de contact des tangentes réelles ou imaginaires is^^ues du point 0.

Lors(|ue la polaire du point 0 coupe la courbe en deux points réels, de ce point 0 on peut mener à la conique deux tangentes réelles, et le point O €^t dit extérieur à la conique.

Lorsque la polaire du point 0 rencontre la courbe en deux points imaginaires, les deux tangentes issues du point 0 sont imap:inaires, et lo point O est dit interieut à la courbe.

La région intérieure et la région extérieure ont pour ligne de démarcation la conique elle-même qui est le lieu des points dont les polaires touchent la courbe, c'est-à-dire ont chacune avec la courbe deux points communs réels et coïncidents.

Cooaidérooa une conique C et un point extérieur T {Jig, 684 )* La polaire de ce point rencontre la courbe en deux points réels a et ^, et les droites Tx, Tp, sont les tangentes réelles issues du point T. Nous donnerons à Tangle aTp formé par les directions Ta et Tp le nom Ol' angle des tangentes, et nous appellerons l'angle ^Toc' formé par la direction T^ et (Kir la direction Ta' opposée à Ta Sangle supplémentaire des tangentes. Cela posé y prenons les points a et ^ pour centres des deux faisceaux générateurs de la conique» et considérons une droite quelconque TL ou TL' issue du point T, Les deux jaisceaux traceront sur cette droite deux divisions /iomographif/ues en inflation; car le point T, considéré successivement comme a])partenant à Tune ou à l'autre de ces divi>ions, a toujours pour homologue le môme point A (ou A'), où la polaire ap de T rencontre la transversale TL' (ou TL). Les points doubles, réels ou imaginaires de cette involulion, seront les points réels ou imaginaires communs à la transversale et à la conique. Or il est aisé de voir que ces points sont réels tant que la transversale est, comme TL', située dans l'angle aT^ des tangentes, et imaginaires lorsque la tranversale est, comme TL, placée dansTangle ^ Ta' supplémentaire des tangentes. En effet, dans le premier cas, le segment TA et 1^ segment nn' formé par deux points homologues de l'involution correspondant à un point quelconque m de la courbe n*emptètentpas l'un sur l'autre et, par suite, les points doubles de l'involution sont réels; mais, si TL' tourne autour de T de manière à venir sur TL dans l'angle supplémentaire, les points n et n' glissent sur les droites Fixes aa, t>^, s>e croisent en ^, et sont ensuite de part et d'autre du point T ; les seglucnls nn' et TA' empiétant l'un sur l'autre, l'involution a ses points doubles imaginaires. Ainsi la courbe est située tout entière dans Sangle aT^ de tangentes issiws d* un point extérieur quelconque T (et dans son opposé par le sommet).

113U. Les propriétés (352, 3o3) des quadrilatères inscriis et cir-

SgS GÉoaiÉTRU£ DANS l'kspace.

conscrits, ainsi que leurs démonstrations, s'appliquent aux coniques.

Il en est de même du théorème démontré au n° 1119. Dans cetl« pro« position et dans les tracés (11i2o) qui en dérivent, on peut substituer au cercle une conique. Il en résulte un théorème que nous n'avons pa5 énoncé alors, parce qu'il était évident pour le cercle, mais qui est uotpropriété importante des coniques : Si autour d'un point d'une conique, comme sommet , on fait tourner un angle droit , la corde variable que */-* côtés interceptent dans ta conique passe par un point fixe y car les deux côtés de l'angle droit décrivent un faisceau involutif. 11 est évident que le point fixe est situé sur la normale au point considéré, puisque, quand Tun des côtés de l'angle droit devient tangent, la corde interceptée devient normale. Cotte proposition, connue sous le nom de Théorètnc de Frégiery fournit donc un moyen simple pour construire avecVëquerre Li normale en un point donné d'une conique.

Le théorème (1119) étendu aux coniques donne une solution du problème suivant : Inscrire dans une conique un polygone dont Us càicK passent respectivement par des points donnés Â^ B, C, . . . , M. Si un âOiomet a était connu, on tracerait immédiatement le polygone; il suffirait de mener la droite Aa, de joindre au point fi le second point 6 d'inter> section de A/7 et de la conique, de joindre au point C le second point r d'intersection de la droite hb et de la conique, et ainsi de suite; la dernière droite Mm couperait pour la seconde fois la conique précisément au point' ^. Cela posé, prenons arbitrairement un premier point de départ a^ sur la conique, joignons-le au point A, et opérons comooe cidessus; nous obtiendrons une ligne brisée inscrite a^b^c^, ,, m^oL^^ mais qui ne se fermera pas, c'est-à-dire telle que la dernière droite M m, rencontrera pour la seconde fois la conique en un point a, différent de /7,. Construisons deux autres lignes brisées analogues a,/;^...^. ^3^3 •• • ^3f 6^ soi^ 3 ui^ point fixe pris à volonté sur la conique. D'après le théorème du n** 1119, le faisceau (^.aa^a^a^) est homographîque du faisceau (S.^^,^,^,), puisque les cordes ab^a^b^^ajt^y â^6,, passent par le même point A; de même, le faisceau [S.hb^b^b^] est homographique du suivant (S.r€r,r,c3), et ainsi de suite; donc le premier et le dernier faisceau [S.aa^a^a^), (S./za,a,%J, sont homographiqucs, et Sa est un rayon double de ces deux faisceaux. On y oit par là qu'il suffira de construire (1126) les rayons doubles des deux faisceaux homographique^ déterminés par les trois couples (So,, Sa, ) (Sa,, Sx, ) (Sa^, Sa,); chacun de ces rayons doubles coupera la conique en un point qui pourra ètro pris pour le sommet a\ il y a donc deux solutions.

Le problème corrélatif : Circonscrire à une conique un polygone dont les sommets soient situés respectivement sur des droites donnéeSy se résoudrait d'une manière analogue en s'appuyant sur le théorème cor-