LIVRE VII r. — LES COURBES USUELLES

relatif de la proposition (1119).

Qiutnd des angles circonscrits à une conique ont leurs sommets en ligne droite, les segments qu'ils interceptent sur une tangente quelconque à la courbe forment une involution ; ce théorème et sa réciproque se démon- Iront par des raisonnements corrélatifs de ceux faits au n*" 1119; le lecteur les rétablira sans peine et pourra en déduire des tracés graphiques corrélatifs de ceux exposés aux n"** 1125 et suivants.

i 1 iO. Deux points  et A' (Jig. 584 ) sont dits conjugués par rapport à une conique lorsque la polaire de l'un passe par l'autre. Ces points sont conjugués harmoniques par rapport aux deux points (réels ou imaginaires ) a et p suivant lesquels la droite AÂ' qui les joint rencontre la conique. Lorsque les points a et p sunt réels, l'un des points A et A' «st intérieur et l'autre extérieur à la courbe.

Plusieurs couples de points conjugués sur une même droite forment une invoiution dont les points doubles sont les points où la droite coupe la conique (1114). Quand ces points doubles sont imaginaires, il exista de chaque côté de la droite un point d'où l'on volt sous un angle droit chaque couple de points conjugués.

Deux droites L et L' sont dites conjuguées par rapport à une conique lorsque le pôle de Tune est situé sur l'autre. Ces deux droites sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux tangentes réelles ou imagitiairos issues do leur point d'intersection; l'une au moins des droites conjuguées rencontre toujours la courbe.

Plusieurs couples de droites conjuguées issues d'un même point forment un faisceau en involution dont les rayons doubles sont les tangentes (réelles ou imaginaires) issues de ce point. Donc (1119), par un point quelconque du plan d*une conique passe toujours un couple de droites conjuguées rectangulaires; et il n'en passe en général qu'un seul, à moins que tous les couples de droites conjuguées passant par ce point ne soient rectangulaires, ce qui a lieu pour certains points remarquables dont nous parlerons plus tard.

Les deux propositions qui précèdent fournissent des solutions simples des deux problèmes suivants :

Mener les tangentes a une cn^ nique par un point de son plan.

Trouver les points d* intersection tPune conique et d*une droite de ton plan.

On prend deux points a eib sur la droite; on détermine leurs polaires et l'on prend les points a' et b* où ces polaires coupent la droite ; les points cherchés sont les

On mène deux droites A et B par le point; on cherche leurs pô)es. puis, en les joignant au point donné, on obtient deux nouvelles droites A' et B'. Les tangentes cherchées

AoO GÉOMÉTRIE DANS L*£SPACB.

rjoo

sont les ravons doubles ( réels ou imaginaires) da faisceau involuLif déterminé par les deux couolc< (A, A'),(B, B').

points doubles (réels ou imaginaires) de Tinvolution déterminée par les deux couples («, a'), (^ b').

On dit qu'un triangle est autopolaire ou conjugué par rapport à une conique lorsque chaque sommet est le pôle du côté opposé.

Il est évident que, dans le plan d'une conique, il existe une infinilé de triangles autopolaires : il suffit de prendre pour les doux premiers sommets deux points conjugués quelconques a et b par rapporta la conique et pour troisième sommet c le pôle de ab; en effet, la polaire de a devant passer par b qui est conjugué de a et aussi par c qui est le pôle de ab sera la droite bc^ et l'on verrait de même que la polaire de b est ac.

Dans tout triangle autopolaire abc^ deux sommets quelconques sont conjugués aussi bien que deux côtés quelconques. L'un des sommets est intérieur à la conique^ et les deux autres sont extérieurs ; car, des deux points conjugués a et b^Xxxïi au moins, a par exemple, est extérieur: sa polaire bc coupe donc la courbe et, par suite, les points conjugués // et c sont Tun intérieur, l'autre extérieur.

il il. Les polaires OA, OB, OC, OD, de quatre point i a, Z», r, </, situes sur une même droite L, forment un faisceau dont h rapport anhar'monique est égal à celui des quatre points.

En effet, soient a\ b\ c\ d\ les points où la droite D rencontre le faisceau (0, ABCD). Comme le centre 0 du faisceau est le polo de la droite L (il37), les points a et a\ b et b\ c et c\ d et d\ sont conjugués; ils forment donc une involulion, et, par suite, le rapport anhar* monique (ahcd) est égal au rapport anharmonique(rt7/c'ûr), qui n'e>l autre que le rapport anharraonique du faisceau (0, ABCD).