LIVRE II. — LA CIRGONPfiRCNCE DB CERCLE, ^j

rieurement ou sécanis, on 9 00' > OA — O'A' ; le point 0 est extérieur au cercle auxiliaire, et Ton peut par ce point mener deux tangentes à ce cercle; donc les deux cercles donnés ont, dans chacun de ces cas, deux tangentes communes extérieures.

Si les deux cercles sont tangents intérieurement, on a 00' = OA — O'A'; le pohit 0' est sur la circonférence auxiliaire; on ne peut donc mener par ce point qu'une tangente à ce cercle et, par suite, les deux cercles 0 et 0' ont une seule tangente commune extérieure.

2" Soit EE' une tangente commune intérieure, c'est-à-dire qui laisse les deux cercles 0 et 0' de côtés différents [Jig, 1 20,). En imaginant, comme ci-dessus, une parallèle O'F à EE', on verra que cette parallèle est tangente à un cercle concentrique au cercle 0 et décrit avec un rayon OF égal à la somme OE-f-O'E' des rayons des cercles donnés, d'où l'on déduira la construction suivante : décrivez du centre 0 de l'un des cercles une circonférence, avec un rayon égal à la somme des rayons des cercles proposés, et du point 0' menez une tangente à ce cercle auxiliaire; F étant le point de contact, tirez OEF, menez O'E' parallèle à OF, et, en joignant les points E et E', vous aurez la tangente demandée.

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que le point 0' ne soit pas à l'intérieur du cercle auxiliaire; on doit donc avoir

00>0F ou 00'>OE-i-0'E',

ce qui revient à dire (123) que les deux cercles proposés 0 et 0' doivent être extérieurs l'un à l'autre ou tangents extérieurement.

Dans le premier cas, on a 00' > OE -+- O'E' ; le point 0' est extérieur au cercle auxiliaire ; on peut donc mener par ce point deux tangentes à ce cercle, et les deux cercles 0 et 0' ont deux tangentes communes intérieures. Dans le second cas, on a 00' = OE h- O'E' ; le point 0' est sur la circonférence auxiliaire ; on ne peut donc mener par ce point qu'une tangente & ce cercle, et, par suite, les cercles proposés 0 et 0' ont une seule tangente commune intérieure.

GtOMÉTBIB PLANE.

164, En résumé :

Deux cercles extérieurs {fig. irai) ont quatre tangentes communes, deux extérieures, deux intérieures

Deux cercles tangents extérieurement [fig. 121,) ont trois tangentes communes, deux extérieures, une intérieure.

Fig. lai,.

Fig. 121,.

^ct»

Deux cercles sécants {fig, 121,) ont deux tangentes communes qui sont extérieures.

Deux cercles tangents intérieurement (fig. 121,) ont une seule tangente commune, qui est extérieure.

Fig. laig.

Deux cercles intérieurs l'un à l'autre n'ont point de tangente commune.

Les tangentes, soit intérieures y soit extérieures, se coupent sur la ligne des centres, qui est la bissectrice commune de leurs angles (53).