LIVRE VIU. — LES COUUBES USUELLES

est le point où le grand axe du cône perce l'hémisphère qui contient la oourbe, et ses foyers, intersections de cet hémisphère et des lignes focales, se trouvent sur Tare de grand cercle qui unit les deux seuls sommets de la courbe. Pour tout point M de l'hyperbole sphérique, c'est la difTérence (et non la somme) des arcs vecteurs MF et MF' qui est constante. Quant aux plans cycliques du cône, ils coupent l'hémisphère suivant deux demigrands cercles passant par le centre de l'hyperbole et également inclinés sur Tare qui joint les foyers ; ce sont les arrs cyvHques de l'hyperbole.

Bn6n, si Ton considérait l'hémisphère situéd'un côté du plan de la grande section du cône, lequel plan contient les lignes focales, on aurait deux moitiés de demi-ellipses sphériques se présentant leurs concavités et dont Tensembie forme une troisième espèce de courbe sphérique. Cette courbe a un centre, intersection de la sphère et du petit axe du cône, quatre foyers situés dans le plan de la grande section du cône, et deux arcs cycliques sitaés entre les deux branches de la courbe et perpendiculaires à l'arc de grand cercle qui joint les deux sommets.

Les trois courbes que nous venons de considérer sont des portions de \à courbe unique, dite conique sphérique y qui est l'intersection complète de la sphère et du cône.

A une conique sphérique répond une conique sphi^rique supplémentaire : c*est rinlersection de la sphère par le cône supplémentaire de celui qui produit la première conique. On peut aussi parvenir directement à cette conique supplémentaire en la considérant comme l'enveloppe des arcs de grands cercles dont les plans sont normaux aux rayons de la sphère menés par les différents points de la conique primitive.

Les arcs cycliques de Tune des coniques sont dans les plana diamétraux perpendiculaires aux diamètres de la sphère qui passent par les foyers de Tautre conique.

Les deux théorèmes relatifs à l'invariabilité de la somme ou de la différence des arcs vecteurs d'une conique sphérique, et à l'égale inclinaisoD de Turc de grand cercle tangent sur les arcs vecteurs, sont dusaM. Magnus, de Berlin (Annales de Gergonne, i8a5].

1210. Par deux sections planes t/uelconques d'une surface du secoml ordre f on peut tot^ours faire passer deux cônes. En effet, considérons la droite L' conjuguée de l'intersection L des deux plans, c'est-à-dire de la sécante commune aux deux courbes ; par cette droite L' et par un point iit quelconque de l'une des courbes, menons un plan, etsoient/^ et q les points communs à ce plan et à la seconde courbe ; du point ^ , où mp reocontre L\ projetons la première courbe sur le plan de la 8econ<ie ; cette seconde courbe et la projection de la première se confondront, caj* ce sont des coniques ayant trois points communs, dont deux, situés sur la sécante commune L, sont des points de contact. Le point s est donc le

ASo GÉOMÊTRIB DANS l'kSPACE.

sommet d'un cône passant par les deux courbes, et riotersection deL'et' mq serait le sommet s' d'un second cône jouissant de la même propné^. -

Les deux cônes se touchent aux deux points qui sont commuas a* deux courbes planes. On peut montrer que, réciproquement, deux oôm du second ordre, qui ont deux plans tangents communs, se coapeDi solvant deux courbes planes. Plus généralement, deux surfaces iài ucot ordre qui se touchent en deux points n et b se cou/^eni suivant denz courbes planes, £n effet, c étant un troisième point oonamun, le plan c^ coupe les deux surfaces suivant deux coniques qui se confondenl, ptL:^qu'elles ont trois points communs a^ b^ c, et les mêmes tangentes «iQ points a et b. Voilà donc une conique commune aux deux surfaces. ILs* rintersection complète de deux surfaces du second ordre est do quatriâch: ordre, car tout plan transversal, donnant une conique dans chaque suface, coupe l'intersection des deux surfaces en quatre points (réeb oc imaginaires). Donc, dans le cas qui nous occupe, l'intersection se compo»' de la conique que nous avons déjà déterminée et d'une seconde oonîqw-

La seconde conique passe, comme la première, par les points a et ^ car on verrait, comme ci -dessus, que, si d est un point de l'interseetinon situé sur la première conique, le plan nbd coupe les deux sorfacr* suivant une conique commune qui, par conséquent, n'est autre que lâiir^ conde conique considérée.

Toutefois, lorsque l'intersection des plans tangents en a et ^ se c»fond avec la droite <76, cette droite appartient aux deux su rf.ices qui, alur^. ont de plus en commun une ligne du troisième degré. Ce cas d'ezoept* >r au théorème de Monge a été signalé par M. de la Goumerie, dans uv lettre à Poncelet ( Traité des propriétés projectiles, annotations de j seconde édition).

Il résulte du théorème précédent que, si deux surfaces du second de^ se touchent en trois points a, b, r, elles se raccordent le long d*ienc it^>it plane. L'intersection des deux surfaces doit, en effet, se composer '^ deux coniques dont les plans passent à la fois par a, 6, c; ces deux coniqwcoïncident donc et forment une conique double suivant laquelle lee Oew^ Surfaces sont circonscrites l'une à l'autre.