LIVRE \i\\, — LES COVRBRS USUELLES
lies centres des sections circulaires parallèles à ce plan cyclique. D'ailleurs, a un plan cyclique et à sa polaire répondent, dans le cône supplémentaire, une ligne focale et son plan polaire. De même que dans les coniques on « Ion ne le nom de directrice à la polaire du foyer, on donne dans les c6nes le nom ^eplan directeur au plan polaire d*une focale. Ainsi, un cône du second ordre a deux focales et, par suite, deux plans directeurs. Cela posé, voici les propriétés fondamentales des plans cycliques et des focales ; les théorèmes sont disposés sur deux colonnes; de celte manière, on trouve H côlé Tune de l'autre les propositions corréiatives, c'esUà-dire les propositions qui résultent l'une de. l'autre par la considération du cône supplémentaire, et il suffit chaque fois de démontrer Tune de ces deux propositions.
Dans iotti cône du second ordre. Dans tout cône du second ordre ^
les sinusites angles que chaque plan tangent fait avec un plan cyclique et a»ec la polaire de ce plan cyclique ont un rapport constant.
les sinus des angles que chaque arête forme aucc une ligne focale et avec le plan directeur corresjwndnnt ont un rapjxirt constant.
En elTcl, coupons le cône par un plan parallèle à un plan cyclique et, du centre de cette section circulaire, qui est un point de la polaire du plan cyclique, abaissons une perpendiculaire sur un plan tangent au cône. I^ sinus de Tangle du plan tangent et du plan du cercle est égal à cette |)erpendiculaire divisée par le rayon du cercle; le sinus de Tangle du plan tangent et de Taxe polaire du plan cyclique est égal à la même perpendiculaire divisée par la distance du sommet du cône au centre de la section circulaire. Le rapport des sinus ne dépond donc qne du rayon (lu cercle et de la distance do son centre au sommet, et nullement du plan tangent considéré.
Tout plan tangent à un cône du second ortlre coupe les deux plans cycliques suivant deux droites éga»
Les plans menés par les deux focales d*un cône du second ordre et par une arête quelconque sont
femeni inclinées sur l*arete de con- également inclinés sur le plan tan* tact, I gent suivant cette arête.
En effet, coupons le cône par deux plans parallèles à ^s deux plans cycliques; les sections seront deux cercles situés sur une même sphère. Une arête quelconque du cône coupe ces cercles, et les tangentes à ces cercles aux points de rencontre obtenus sont situées dans le plan tangent au cône suivant Taréte considérée ; ces deux droites étant tangentes à une même ^hère et comprises dans un même plan sont également inclinées sur la corde qui unit les points de contact, c'est-à-dire sur Tarêle du côno, et, comme ces droites sont parallèles à celles suivant lesquelles le plan tangent coupe les plans cycliques, le théorème eet démontré.
La somme (ou la thffêrenrt i • angles que chaque arête ri* un r^.'du second ordre forme avec les dr^.z.
focales est constante»
La somme (ou la différence) des angles dièdres que chaque plan tangent à un cône du second ordre forme avec les deux plans cycliques est constante*
Dans les deux cas précédenls, nous avons démontré le théorèti^ '>" gauche; ici, nous démontrerons le théorème de droite. Il suffît à cet eOH >* considérer ce qui se passe sur une sphère ayant pour centre le sommet 'h cône. Une nappe du cône coupe la sphère suivant une courbe qu*on dobut ellipse sphérique, et les deux points déterminés sur cette portion desph^r par les focales du cône sont dits les/q;^^rr de cette conique. Cela posé, s' M est un point de cette conique sphérique et si F et F' sont ses foyerr il suffit de prouver que la somme des arcs de grand cercle FM h- PM e^ constante, sachant, d'après le théorème précédent, que l*arc de grao ' cercle tangent à la conique au point M est égalem«il indiné sur hrdeux arcs vecteurs MF et MF. Le raisonnement est analogo» à ce:i du n" 1007.
De là résulte un nouveau point de vue sous lequel on peut oonsîd^rer les propositions qui précèdent et, en général, les propriétés des côoes Ji> second ordre (Chasles, Mémoires de l'Académie de Bruxelles^ année ida9>
1^09. Une conique sphérique est l'ensemble des deux courbes îerm'Kdites ellipses sphériques, suivant lesquelles un cône du second ordre cou.>' une sphère ayant le sommet pour centre. Ces deux courbes sont syn^ triques par rapport à chacun des trois grands cercles suivant lesquels !^ plans diamétraux principaux du cône coupent la sphère.
Considérons le plan principal du cône, et ne prenons que rhémîsphero et la nappe du cône situés au-dessus de ce plan. Cette nappe déterminen sur la sphère une ellipse sphérique dont le centre et les sommets seror: les points où la sphère est percée par Taxe principal et par les généra trices situées dans les plans de la grande et de la petite section ; lesfo}-»^ répondront aux lignes focales ; les plans cycliques du cône cooperor* Iliémisphère considéré suivant deux demi-grands cercles ayant le grac: ;ixe du cône pour diamètre commun : ce grand axe est compris danslepUi du plus grand arc diamètre de l'ellipse sphérique, et ces deux derai-grandt cercles^ dits arcs cycliques de l'ellipse sphérique, sont perpendiculaires a-> plus petit arc diamètre de l'ellipse et ne rencontrent jamais cette ooqHks
Considérons en second lieu le plan de la petite section du cône, et ^i partie de la conique sphérique située d'un seul côté de ce plan ; efle est composée de deux branches, moitiés des deux ellipses sphériques e< symétriques par rapport au plan diamétral perpendiculaire à Taxe prodpal du cône ; on lui donne le nom à'kyperbole sp/iérique. Son ceoirt
