LIVRE TIII. — LES GOCRBES USDELLRS

égal an rapport anharmonique des quatre plans homologues de I*autro faisceau, etc.

La surface réglée ^ lieu des intersections des plans homologues de deux faisceaux homographiques, est du second ordre; car, si on la coupe par un plan quelconque o, les deux faisceaux de plans coupent ce plan ^ suivant deux faisceaux de droites qui sont homographiques, et la section de la surface par ce ^an o est le lieu des intersections des rayons homologues de ces deux faisceaux de droites, c'est-à-dire (1131) une conique. Il existe donc des surfaces réglées du second ordre.

1212. Réciproquement, toute surface réglée du second ordre peut être considérée comme le lieu des intersections des plans homologues de deux faisceaux de plans homographiques. Nous décomposerons la démonstration en plusieurs parties, et elle nous permettra de mettre en évidenci^ les principales propriétés de ces surfaces réglées.

!• Trots droites A, B, C, appartenant à la surface, ne peuvent passer par un même point o, à moins que toutes les droites de la surface ne passent par ce point. Car, toute autre droite D de la surface, ne passant pas par le sommet o du trièdre formé par A, B, C, aurait au moins avec l'une des faces de ce trièdre un point commun non situé sur les arêtes; par suite, le plan de celte face aurait en commun avec la surface deux arêtes du trièdre et de plus un point extérieur à ces arêtes, de sorte que h* degré de la section serait supérieur au second. Les surfaces réglées û\i second ordre se partagent donc en deux groupes : Tun relatif aux surfaces dont toutes les génératrices passent par un même point, l'autre relatif aux surfaces dont trois droites ne passent jamais par un même point. Les surfaces du premier groupe sont les cônes et, en particulier, les cylindresy lorsque le point de concours de toutes les génératrices est à TinGni. Les cônes du second degré jouissent évidemment de la propriété énoncée, car toute section faite par un plan ne contenant pas le sommet est une conique qui peut être considérée comme le lieu des intersections des rayons homologues de deux faisceaux homographiques; les plans déterminés par les génératrices fixes qui aboutissent aux centres de ces deux faisceaux et par la génératrice variable qui aboutit à un point quelconque de la conique sont donc homographiques. Nous n'avons par conséquent à considérer que les surfaces réglées proprement dites, c'est-à-dire celles dont trois droites ne passent jamais par un même point.

1* Soit G Tune des génératrices de la surface. Tout plan passant par G donne dans la surface une conique qui se compose nécessairement do la droite G et d'une autre droite. Si Ton coupe la surface par une sério de pluns 7i7',/, . . . , passant par G, on obtiendra donc une série de droites L,L',L', . . ., qui formeront un système de génératrices recti lignes. Toutes ces droites rencontrent G en des points différents, sans quoi, par un mémo

R. et 01 C. — Tr. de Céom, (W Partie). 3l

4^3 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACB.

point, passeraient trois droites de la surface; par suite, deux quéloooqve^ des génératrices L,L', L', ..., ne sont jamais dans un même plan. Âctnefif* ment, par l'une L de ces droites, menons une série de plans >, V, à', .... nous obtiendrons une nouvelle série de droites G, G', G', . . . , dont G ien évidemment partie et qui formeront un second système de génératrice» recti lignes; on verra, comme ci-dessus, que deux quelconques de cet génératrices ne sauraient être dans un même plan. Bbnc, en résumé, u, surface admet deux systèmes (G) et [h) de génératrices rectiUgnes ; per un point quelconque m de la surface passe une génératrice de eha^et système ( ces deux génératrices sont fournies par les plans menés pèr r et chacune des deux droites fixes G eiL)\ le plan de ces deujc génerttrices est le plan tangent en m à la surface. Deux génératrices d\' même système ne sont jamais dans un même plan ; une génératrice qm conque de l'un des systèmes rencontre toutes celles de i* autre système,

3<* Puisque trois droites suffisent pour régler le mouvement d'u»droite mobile assujettie à s'appuyer sur elles, et qu'une génératrice oi Tun des systèmes doit rencontrer toutes celles de l'autre système. ^ voit que la surface peut être considérée comme engendrée par une dns^qui rencontre sans cesse trois droites fixes L, L', L".

4** Sur l'une L de ces trois droites fixes, prenons une série de points bjC, d, ... ; par chacun de ces points et par les deux autres droites bi-v L' et L' menons deux plans; nous obtiendrons ainsi deux faisceaux o plans homographiques dont V et L" seront les axes et tels, que les init"* sections des plans homologues rencontrent les trois directrices L, L', L' c'est-à-dire soient des génératrices de la surface. La surface est doDC& lieu des intersections des plans homologues de deux faisceaux de pléi^ homographiques y comme nous l'avons annoncé.

Nous avons vu (i"") que les cônes rentrent dans cette définition ; m r^ pondent aux cas où les axes des deux faisceaux se rencontrent ; quand l^ axes sont parallèles, les cônes deviennent des cylindres.

1213. Voici encore d'autres propriétés importantes des surfaces régit proprement dites du second ordre.

Le faisceau de plans passant par L' rencontre les deux autres dir trices L et L' et détermine sur elles deux divisions homographiques , «-* droites qui joignent les points homologues de ces deux diyisioiis $ ': > puient à la fois sur L, L', L' ; ce sont des génératrices de la sari^i' Donc toute sufface réglée du second ordre est le Heu des droites qtà u • sent homographiquement deux droites fixes.

Tout plan passant par un point quelconque m de la surface, et qn: >1 contient aucune des deux génératrices G et L passant par ce point, ce (. •! la surface suivant une conique qui passe par m et qui ne se réduit pa.>