LIVRE VIII. — LES COCRBGS USUELLES

deux droites , sans ijuoi la section serait d'un degré sapériear au second.

Chaque point d'une section plane résulte de l'intersection du plan sécant et d'une génératrice de la surface ; toute section plane d'une surface réglée du second ordre est donc réelle. Par suite, en appliquant cette remarque au plan polaire a d'un point quelconque p de l'espace, on voit que tout point de l'espace ett le sommet d'un eônerëel eircomcrit à la surface.

\a plan de l'infini détermine une section réelle qui est : ou une conique ordinaire, ou un système de deux droites; la surface prend dans le premier cas le nom A'Aj^erbololde à une nuppe et, dans le second, le nom de peraboloide hyperbolique.

HTPBnBOLoTnB A UNB NAPPB.

1214. Nous ■Tons nommé Arperbototde à une nappe {fig. 607) celle des deni surfaces réglées proprement dites du second ordre que le plan

■ de rinBni coupe suivant uneconiqueCquinese réduit pas à deux droites. L« plan de l'inAni n'étant pas langent à ta surface ne contient pas son propre pôle; ce pôle, c'est-à-dire le centre de la surface, en donc à dif ' . tattcr finie. Si l'on transporte & ce centre o et parallèlement à elles-niémM tontes les génératrices de la surface, les droites ainsi transportéM cob- . servent leurs mêmes points à l'inGni ; on obtient donc un cône ayant pour , mmraet o et pour base la conique C, et, comme le point o est le piUs du plan de la conique C, on voit que ce cAne est tangent à la surface

484 GfiOUÉTRlB DANS l'bSPACB.

tout le long de la conique C située à Tiaûni ; ce cône, enveloppe dœ pUc* tanf;enl8 à l'infini de la surface» ou, comme on dit plus rapidement, àa pians asjmptQtiqttes à la surface, prend le nom de côae asy-mpuu t" rhyperboioïde. La surface est tout entière à Textérieur de ce cône, s^c* quoi il y aurait des génératrices qui le couperaient à distance finie.

Par chaque point de la conique C passent deux génératrices, une -• chaque système; donc, à chaque génératrice d*un système, répond ilar*^ l'autre système une génératrice parallèle, et, par suite, chaque gène mtrice du cône asymptote est parallèle à deux génératrices été ta surfa^

Trois génératrices d'un même système ne sauraient être parailèies c un même plan, sans quoi les trois génératrices correspondantes do ccoe asymptote seraient dans un même plan, ce qui est absurde, puisque «t cône est du second ordre.

1215. Les sections planes de la surface peuvent être des hyperboles, Cf^ paraboles ou des ellipses suivant les positions du plan sécant; car, soivsc: que ce plan coupe la conique C en deux points, la touche ou ne la r^D* contre pas, le nombre des points à Tinfini dans la section est a, i ou o D'ailleurs, les sections P et P, de la surface et du cône asymptote par .■»même plan quelconque a sont semblables, semblablement placées et cmcentriques. En effet, soient Det D' deux diamètres conjugués de la sai'tion P faite par le plan a dans la surface; les plans déterminés par h centre o de Thyperboloïde et par chacune des droites D et D' aeroet diamétraux conjugués par rapport à cet hyperboloïde ; donc ils Je seront aussi par rapport au cône, puisque (1203) le cône et la surface ont !t^ mêmes systèmes de droites et de plans conjugués; par suite, les inler»e«* tiens de ces deux plans par le plan a, c'esl-à-dire les droites D et D' elles-mêmes, seront deux diamètres conjugués de la section P, faite p>.:r le plan a dans le cône asymptote. En particulier, les plans cycliques d^ cône asymptote coupent donc V hyperboloïde suivant des eercies; on k^ nomme plans cycliques de l'hyperboloïde ; tout plan parallèle à on pUt cyclique donne une section circulaire (1199).

1216. Puisqu'à tout diamètre de l'hyperboloïde répond le même pte'diamétral, soit dans cet hyperboloïde, soit dans le cône asymptote, l*bvporboloïde et le cône ont les mêmes systèmes de diamètres conjugués, ei par suite, les mêmes axes et les mêmes plans principaux. Des trois axe» Tun ozrst donc intérieur (1204), et les deux autres oxet o/sonleUt^ rieurs et coupent seuls la surface ; il y a donc deux sommets imaginsîrfet quatre sommets réels; le plan principal xoy coupe la surface suivaci une ellipse qu'on nomme ellipse de gorge, et les plans principaux xoz %\ yoz la coupent suivant des hyperboles. Toute section par un plan para'lèle au plan xoy est une ellipse semblable à l'ellipse de gorge et dont le«