LIVRE Vllf. -^ LB8 OOUMM 09IIVLLES

1244. Thut plan bttangent P coupe le iorc'siiiPûnt ie système (h deux cercles, (Yvoif Villargrau, Comptes rendns, 184^.)

En effet, prenons poar plan de la figure {Jig, 6a3) leplan méridien perpendrculaire au plan P; les deux points de contact /et /' seronl (887) situés dans ce plan méridien, de sorte que la trace du plan P sera la tangente commune intérieure fof* aux cercles u et w*. Dègignons par M un point quelconque de la section, et soit gn la trace do parallèle qui passe par ce point; le point M se projettera en m sur f^neiffy et Ton aura

Fi0. 6a3.

oM =0», puisque oM et on sont deux génératrices du oéne qui a pour ionimel le point o et pour base le parallèle gn» Si Ton rabat le plan P, autour ûeff'j sur le plan de la figure, le point M viendra donc sur la perpendiculaire élevée au point m sur j^Ten un point Mi leU queoMt = on. Cela posé, prolongeons /i«» jusqu^à sa rencontre s avec jOT et menons oe perpendiculaire sur /i w; le rapport de or à «1/ est égal à celui de so à s ta ou encore à celui éeom à o>/t et, comme w/~o>/i, on a om = oe; Végalité des triangles rectangles or/i, omMi , montre alors que Tangle on b est égal à cUtm et, par suite, à M10X-; oA étantla perpendiculaire élevée par osur jfjT'* Si Ton prend 0^ » r, les triangles oXMi, oma, seront donc égaux, et l'on aura BI|X- ^oài^d. On voit ainsi, en redressant le plan, que In section se compose de deux cercles dont le rayon est égal au rayon moyen d du tore et dont les centres sont situés de part et d'autre deo^à une distance égale à r, sur la per/>endiettéaire menée par o au plan de litfigure.

Par tout point du tore passent donc quatre cercles de la surface ; ce

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sont le parallèle, le méridieD^ et deux des qaalre cercles suivant lesquds le tore est coupé par les plans tangents menés par ce point au c6iie S qu'engendre la droite /jP en tournant autour de Taxe oz.

i245. Toute sphère bilan gente coupe le tore suivant un système de deux cercles. (MAi^fNHBiM, Nouvelles Annales, i856.)

En effet, prenons pour plan de la figure le plan du centre c de la sphère et de l'axe oz du tore. Ce plan méridien renferme les deux points de contact /7 et/?', puisque les normales pta^p'ta'y en ces points passent par c et rencontrent oz. Les points p et p' étant d'ailleurs deux point» antihomologues des cercles u et »', la droite pp' passe par le centre de similitude o. Soient P et Q les plans tangents au cône 2 menés par la droite /7>', et T le plan tangent commun à la sphère et au tore au point p; Tun 0 des deux cercles suivant lesquels le plan p coupe le tore passe par // et p' et a pour tangente en p l'intersection L des plans P et T; mais lo cercle er que le plan P détermine dans la sphère passe aussi par les points p et p' et a pour tangente en p la droite L. Donc les cercles G et v coïncident, et l'on verrait de même que le cercle que le plan Q détermine dans la sphère coïncide avec l'un de ceux que ce plan détermine dans le tore.

1246. Nous terminerons ces notions sur le tore par la solution d*an problème qui se présente dans les applications (Mannueim, Cours de Géométrie descriptive, 1880) :

Etant donné un tore et un point quelconque S de l'espftce, mener par le point S des droites bitangentes au tore.

Soit SL l'un de ces rayons bitangents ; en tournant autour de l'axe de révolution du tore, il engendre un hyperboloïde de révolution qui toudie le tore suivant les deux parallèles engendrés par la rotation des pointi de contact de la droite SL.

Considérons le plan méridien qui passe par le point donné & Ce plan coupe le tore suivant deux cercles Ci et Ci et l'hyperboloïdo suivant une hyperbole passant par S et bitangente à chacun des cercles C| et d. Soient S/>, Sq les tangentes menées de S aux cercles Ci et Ci; prenons sur S;?, Sr = S7, en sorte que prs^Sp — Sq, L'hyperbole est le lieu des points pour lesquels la différence des tangentes menées de ces pointa aux cercles Ci et Ci est constante et égale à pr. Si donc on décrit, dans lo plan méridien considéré, un cercle concentrique à Ci et passant par r, ce cercle coupera Ci en deux points a et 6 qui seront les points où Fby* perbole touche le cercle Ci. Ces points appartiennent aux parallèles de contact du tore et de l'hyperboloïde. Les rayons bitangenta demandés seront donc les droites qui, passant par S, s'appuient sur ces deux parallèles, c'est-à-dire les génératrices communes aux doux c6nes qui ont