SURFACE DES ONDES

1237. Supposons qu'une suite d'ébranlements périodiques ait lieu en un point d'un milieu biréfringent : le mouvement vibratoire se propagera dans toutes les directions autour de ce point, et, au bout de Tunité de temps, le premier ébranlement sera parvenu sur une certaine surface que Fresnel a considérée le premier et à laquelle on donne le nom de^urface des ondes.

Laissant complètement de côté le point de vue physique, nous allons ici étudier géométriquement cette surface intéressante et signaler les particularités curieuses qu'offre sa forme.

Nous partirons de la définition suivante :

La surface des ondes est la surface apsidale ^ d'un ellipsoïde c, par rapport au centre de cette dernière surface.

Le théorème du n* iid6 montre que la polaire réciproque de la surface des ondes y par rapport à une sphère concentrique à l'ellipsoïde e est encore une surface des ondes; c'est la surface apsidale f' de l'ellipsoïde e', polaire réciproque de l'ellipsoïde primitifs.

Le théorème du n** li34 permet de construire le plan tangent etla normale en un point quelconque de la surface des ondes.

Enfin, en combinant le théorème du n* 1236 et les corollaires du théorème du n> 1234, on voit que la surface des ondes f peut être déduite des ellipsoïdes c et t* de la manière suivante :

i* Si, par le centre de l'ellipsoïde t, on élève une perpendiculaire à chaque plan diamétral, et qu'on porte sur cette perpendiculaire, à partir du centre, des longueurs égales aux demi-axes de la section diamétrale considérée, le lieu des extrémités de ces longueurs est la surface 7.

a* Si, à chaque plan diamétral de C ellipsoïde t', on mène des plans pa^ ralléles à des distances de ce plan égales aux longueurs des demi-axes de la section diamétrale considérée, la surface y est la sufface tangente à tous ces plans,

1S38. Étudions maintenant la forme de la surface en partant de la première de ces deux définitions.

On voit d'abord immédiatement que la surface f admet le même centre o et les mêmes plans principaux xoy^ yoz^ znx^ c'est-à-dire les mêmes plans de symétrie que Tellipsoïde c Désignons par a, 6, c, les longueurs des trois aies de cet ellipsoïde qui sont dirigés respectivement suivant ox, QTt ^2: supposons ^> &> r, et cherchons les sections principales de la

LIVBB VIII. ~ LFS COIRnES IBCELLES. 5»!

nées positives, on imaginera que ce Irièdre soil Tendu euÎTant l'no des/, et que l'on ait rabaltu ta fuce zoy en zoi', sur te plan des tx, ei la face xoy en .roj-, sur le même plan des tr. Lob Irois faces étant BinsJ appliquées sur le même plan, on pourra dessinttr avec exactitude les irois couples de sectiuns principales en se bornant au quart de chacune d'elles, comme on le voit sur la ^^. 6iS. Ilsufrn dès lors de wmener \m la pensée les trois plans dans leur position primitive, de manière â reformer le Irièdre, pour acquérir une idée nette de la forme de la surface telle qu'on ta voit on perspective dans la^^. 61g; on aménagé dans celte figure une ouverture qui permet de voir la nappe inl6rieure. Quant i In fig. 630, elle repri^sonte le corps «ilide ou noyau qui serait recouvert par Id nappe intérieure seul i\

l'*i||. (iiy. Fi];. 63a.

TliÈOnÈUE.

1239. La sphère ijui ptissr pur an jtoint ijuelcaaijue m de la iiirjtice et pnr la pro/eelion q rf« rentre mr le phn langent en rr pninl, et qui a son rentrr sur l'un tlrt axes, cou/tr le plan principal perpendiculaire à cet tixf siiiivinl le cercle principal cnrrespenilanl.

Par exempte, la sphère qui passe par m et 7 et qui a son rentre sur l'aie ox coupe le plan yns suivant !e cercle A.

En effet, soient t/jf. Cai) /i un point quelconque de l'ellipsoïde t,p la projection du centre o sur le plan (an<|;ent en n, et ns la trace sur le plan nip (qui est ici pris pour plan de la Qgure) du plan mené par n perpendiculairement à l'axe (U-. Faisons tourner la figure de 90 degn^a dans son plan autour du point o, rie maniâreà l'amener m\omijg ; m sera un point quelconque de la sucface des ondes et 7 la projection du centre o sur la )ilan tangent en ce point, (juani à la droite ing, nouvelle position de /w.

5o2 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPAGE.

elle sera perpendiculaire à ns et, par suite, parallèle à la projection de Taxe ojc sur le plan de la figure; on aura d'ailleurs (1232) og.oq = a». Cela posé, imaginons le point c où Taxe ox coupe le plan mené perpendiculairement à la droite gm par son milieu t ; c sera le centre de la sphère considérée.; soient e/ sa projection sur le plan delà figure et h sa distance à ce plan. En désignant par p le rayon du cercle suivant lequellaapbèn coupe le plan principal zo/, on aura

p* ~ cm —co = (//' -f- f//iî* ) — (h* -f- do*) » dm — do ,

ou, en appelant A- le point de rencontre de mg et de la droite id qui est parallèle à oq^

p* = dm — //M = \di -h im ) — \iÂ- -+- tm ) = di — iX

= {di -+■ i/) (di — //) s= (r/X- -+- a /X) dA = o^ (r>^ -h gq) s=zog.oq,

c'est-à-dire, d après la relation ci^dessus, p =" ^i ce qui prouve que fe cercle d'intersection n'est autre que le cercle principal A.

1240. Ce théorème, qu'un géomètre anglais, M. Ni\en, a trouvé par l'analyse, etdont nous venons de donner une démonstration géométrique, fournit une nouvelle solution du problème du plan tangent et une explication simple des particularités de la surFace.

Veut-on le plan tangent en un point m? On considérera les trois sphères passant par le point m et par chacun des cercles principaux A, Bi C; le second point commun à ces trois sphères sera le point 9, projection du centre o sur le plan tangent cherché, qui, par suite, n'est autre que le plan mené par g à angle droit sur oq.

Inversement, un plan tangent étant donné, veut-on le point de contacta Par la projection g du centre o sur le plan donné, et par chacun descendes principaux A, B, C, on mènera trois sphères, et le second point commun m (le ces sphères sera le point de contact du plan tangent considéré.

124i. Revenons à la section de la surface par le plan «ur, iaqueUe m compose du cercle B et do Tellipse B' qui ont quatre pointa communs réels tels que «, et quatre tangentes communes réelleSi telles qm vw

LlVItS VIII. — LES COURBKS USUBLLES. 5o3

{fg. 618). OiercbQDa le plan ungentenuà ta surface des ondes. La projection du centre 0 eur ce plan tangent doit être le second |>oint commua aux trois sphères passant par u et par chacuo des cercles principaux A, B,Ci mais, comioe le point u est sur le cercle B, la sphère correspondant à co cercle est indéterminée, et l'on trouve pour la projection du contre sui le plan langent, non pasun point, mais un lieu qui est le cercle dlnlerseclion des sphères passant par u et par chacun des cercles A ei C, et dont le plan est perpendiculaire au plan zox. Il en résulte que la sur/me admet au point u une infinité de plans tangents axant pour enveloppe un cône dont le sommet eât au point a et dont les tangentes au cercle fi et à l'ellipse B' sont deux génératrices opposées.

Considérons en second lieu la tangente commune c»'. Le plan n élevé par cette ligne perpendiculairement au plan au: est évidemment tangent à la eurracedes ondes aux points v et iv. 11 est facile de voir que le plan n louche la surface tout le long du cercle décrit dans ce plan sur cw comme diamètre. En effet, lu point de contact du plan Trdoit être le eecond point commun aux trois sphères passant par la projection v du centre a sur ce pian et par chacun des troia cercles principaux A , D, C ; mais, le point v étant sur le cercle B, la sphère relative à ce cercle est indéterminée, et l'on trouve pour le point de contact, non pas un point unique, mais un lieu qui est le cercle commun aux deux sphères déterminées par le point cet par chacun des cercles A et C; cecercle, dont le plan est évidemment FiU. 6m.

perpendiculaire au plan znx, n'est autre que le cercle décrit dans le plan

« eur vw comme diamètre.

Ainsi, la surrace dos ondes a quatre pninis cord/fues el quatre cercles de f^niact. La/]^. On ropriîaente la section de la surface par un plan paa- Mtil par les quatre points coniques (').

V i H> Muiubvlm ■ diimonlro lus propricli-'i priucipale* lia cclta lurfica al

5o4 G&OMÉTRIB DANS l'ESPACB.

i242. M. DarboQX, qui a étudié (Com/Hcs rendus, t XQI) la surface qu'on obtient quand les cercles Â, B, C ont des positions quelconque» dans Fospace, a déduit du théorème de M. Niven le moyen de constniin' les pointa (et par suite les plans tangents) de la surface des ondcïs sao» passer par la considération de l'ellipsoïde.

0 étant le centre de la surface des ondes et q le second point dlotersection des trcns sphères passant respectivement par les cercles A, B, C et par un point quelconque m de la surface, Tangle Oqm est droit; et II est clair que cette propriété constitue une définition de la surface; car, si m est un point quelconque de l'espace et q le second point commun aux sphères déterminées par m et par les cercles A, B, C, l'angle Oqiu n'est plus droit.

Cela posé, prenons deux sphères quelconques passant Tune par le cercle A, l'autre par le cercle B, et cherchons les points de la suriat' qui sont situés sur le cercle 7 commun à ces deux sphères. U résul^' immédiatement des propriétés des axes radicaux que toute sphère passant par le troisième cercle C coupera 7 en deux points pi et p', tels q^e la droite /xp' aille passer par un point fixe a situé sur la droite commune aux plans des cercles C et 7. Si le point ft appartient à la surface, il faudra que l'angle O/xf*', c'est-à-dire l'angle Ofir/, soit droit. Donc \t point i». sera sur la sphère admettant Qa pour diamètre. Cette coostmction donne deux points sur le cercle 7.

TORB.

1243. Le tore (895) est la surface apsUïale dUme sphère par rapport à un point quelconque de l'espace. En effet, cette, surface apsidale e^i évidemment de révolution autour de la droite oz qui joint le poiM considéré o au centre de la sphère ; d'ailleurs, comme le plan tangent à b sphère est perpendiculaire au plan méridien du point de contact, il résnltr du mode de correspondance (1233) entre les points de deux sorfaeedipsidales que la méridienne de cette surface de révolution n'est autre qa'tn grand cercle de la sphère qui aurait tourné de 90 degrés dans aoa plan autour du point o,

La méridienne complète se compose de deux cercles fr> et «*' 8yniétriqsf> par rapport à Taxe oz\ le point o, qui est sur Taxe et qui eat le milieu de wa\ est le centre du tore; nous désignerons par </le rajron moyen ou ^ià tore et par r le rayon «i/du cercle méridien eo.

obtenu plusieun propriétés nonvellM par d'élégantes coa^idération» de Ot^ mctrie cinématique {Comptes rendus, 1867 et 1874 j Congrus de LUU, iSj4f *'" Piau(ett 1875, et du Havre^ 1877; Cours de Géométrie dfitcripliyt^ 'B$o>.