LES COURBES USUELLES

§§ I, IL — Propriétés fondamentales de Tellipse et de Tiiyperbole.

844. Quelle est la plus courte et la plus grande distance du centre de l'ellipse à un point de la courbe ?

845. Quel est le lieu du centre d'une ellipse qui glisse entre deux axes rectangulaires ?

846. Deux ellipses dont les grands axes sont égaux et qui ont un foyer commun ne peuvent se couper qu'en deux points.

847. Quel est le lieu des points également distants de deux circonférences intérieures ou extérieures l'une à l'autre?

848. Quel est le lieu des centres des cercles tangents à deux cercles donnés ? — On examinera les différents cas possibles.

849. Sur les deux tangentes PM, PM', à une ellipse ou à une hyperbole dont les foyers sont F et F', on prend des longueurs PQ, PQ', respectivement égales à PFet à PF': démontrer que la droite QQ'est égale au grand axe de Tellipse ou à Taxe transverse de Thyperbole.

850. Le grand axe de l'ellipse ou l'axe transverse de Thyperbole et une tangente quelconque interceptent, sur les deux tangentes menées aux extrémités de Taxe de la courbe, des longueurs dont le produit est constant.

851 . Des cercles touchent une droite ÂB en un point fixe C, et des points fixes A et B on mène des tangentes à ces cercles : trouver le lieu des points d'intersection de ces tangentes.— Le point C peut être entre A et B ou sur AB prolongée.

852. Soient les deux tangentes menées à l'ellipse ou à Thyperbole par un point extérieur et une troisième tangente quelconque : démontrer que la longueur interceptée sur celte troisième tangente par les deux premières est vue de chaque foyer sous un angle constant.

853. Démontrer directement que, si Ton mène à une hyperbole deux

QUESTIONS PROrOSÊBS. 543

tangentes PM, PM', par un môme point extérieur P, les angles PFM, PFM' sont égaux ou supplémentaires, suivant que les points de contact M et M' appartiennent ou non à la même moitié de la courbe.

854. Trouver le lieu des centres des ellipses dont le grand axe a lu même longueur, qui ont un foyer commun et qui -touchent une droite donnée.

855. Quels senties lieux géométriques : l'^des sommets ; a"" des points de rencontre des côtés non parallèles; 3** des points d'intersection des diagonales, des trapèzes construits sur une base Gxe, et dans lesquels la longueur de l'autre base est donnée, ainsi que la somme ou la différence des côtés non parallèles ? (

856. Construire une ellipse ou une hyperbole, connaissant : i^ ses foyers et un point; a" ses foyers et une tangente; 3*^ un foyer, deux points et une tangente ; 4^ un foyer, un sommet et une tangente; 5° un foyer, deux tangentes et le point de contact de Tune d'elles ; 6^ un foyer et trois tangentes; 7* le centre, deux tangentes et la longueur du grand axe ou de Taxe Iransverse.

857. On donne les positions d'un foyer et d'un point d'une ellipse, ainsi que les longueurs des axes : déterminer son cenire.

858. Le cercle qui a pour diamètre la portion d'une tangente quelconque à l'hyperbole interceptée par les tangentes menées aux extrémités de l'axe transverse passe par les foyers de la courbe.

§ m. — Propriétés fondamentales de la parabole.

859. La perpendiculaire abaissée du foyer de la parabole sur une tangente à la courbe est moyenne proportion netle entre le rayon vecteur du point de contact et la moitié du paramètre p.

860. Si PM et PM' sont les deux tangentes menées à la parabole par un point extérieur P, les triangles FPM, FPM', sont semblables, et FP est la moyenne proportionnelle des rayons vecteurs FM, FM', des deux points de contact.

861. Si PM et PM' sont les deux tangentes menées à la parabole par un point extérieur P, démontrer que la parallèle menée à l'axe par le point P passe par le milieu de la corde MM', et que la tangente au point où cette parallèle rencontre la courbe est elle-même parallèle à la corde MM'.

862. Si l'on rapporte la parabole à une tangente et au diamètre mené par son point de contact pris comme axes coordonnés, le carré de l'or-

5a4 6Ê0MÉTR1B DANS l/sSPACB.

donnée d'un point de la courbe est égal à quatre fois le produit du rayon vecteur de l'extrémité du diamètre par l'abscisse du point considéré.

863. Si deux cordes de la parabole se coupent , les produits de leurs segments sont dans le rapport des rayons vecteurs des extrémités des diamètres qui leur sont conjugués.

864. MN étant une tangente commune à la parabole et au cercle décrit sur la corde menée perpendiculairement à l'axe par le foyer comme diamètre, démontrer que les droites FM et FN sont également inclinées sur cette corde.

865. La tangente en un point de la parabole rencontre la directrice et la corde menée par le foyer, perpendiculairement à l'axe, en des points équidistants du foyer.

866. Si l'ordonnée d'un point M de la parabole passe par le milieu do la sous-normale qui correspond à un point M\ l'ordonnée du point M e>t égale à la normale qui correspond au point M'.

867. Si d'un point pris sur une tangente à la parabole on mène nne autre tangente à la courbe, l'angle compris entre cette tangente et la droite menée du môme point au foyer est constaut.

868. Construire une parabole qui touche un cercle donné en un point donné, et dont l'axe soit tangent au même cercle en un autre point donné.

869. Si par le point de contact d'une tangente à la parabole on tire une corde, puis qu'on trace une autre droite parallèle à l'axe, la portion de cette droite comprise entre la tangente et la corde sera divisée par son point de rencontre avec la courbe dans le même rapport que cette droite elle-même divise la corde.

870. Si le diamètre de la parabole menée par le point H rencontre la directrice en K et la corde tpenée par le foyer parallèlement à ta tangente MT en H, on a

MK=MH.

871. Quel est le lieu du point d'intersection du diamètre mené en un point de la parabole avec la corde tracée par le foyer parallèlement k la tangente au même point?

872. AB et AC étant deux droites rectangulaires, on mène la drcit** quelconque AR et la parallèle 6xe CK à ÂB, puis, on prend sur AR un point M tel que'son ordonnée MQ par rapport à AB soit égale à CR : quel est le lieu du point M ?

873. On considère dans un cercle un diamètre fixe AOB et un rayon quelcon()ue OC ; D étant le milieu de la corde CE menée parallèlement

au diamètre fixe, on demande le lieu du point d'inlersection des droites OC et AD.

874. Si deux tangentes égales à la parabole sont coupées par une troisième, les segments déterminés sur ces tangentes sont égaux, mais les segments égaux ne sont pas placés de même sur les deux tangentes.

875. Le. cercle déterminé par les points d'intersection de trois tangentes à la parabole passe par le foyer.

876. MFN étant une corde quelconque menée par le foyer de la parabole, si l'on trace du sommet S les droites SM et SN, elles rencontrent la corde focale perpendiculaire à l'axe en deux points P et Q dont les distances au foyer sont égales aux ordonnées des points N et M.

877. Si d'un point 0 pris sur Taxe de la parabole on mène une corde, la dislance SO du sommet S au point 0 est la moyenne proportionnelle des abscisses des extrémités de la corde.

878. Du sommet S, on mène deux droites rectangulaires qui viennent rencontrer la parabole aux points M et M' ; le paramètre 'Âp est la moyenne proportionnelle des abscisses des points M et M'.

879. Quel est le lieu du centre du cercle inscrit dans le secteur circulaire ÂOB, dont l'un des rayons OÂ est fixe et dont l'autre OB est mobile?

880. Sur une corde de la parabole comme diamètre,on décrit un cercle qui coupe la parabole en deux autres points; si l'on joint ces points, les deux cordes considérées interceptent sur Taxe de la courbe une longueur égale au paramètre a/?.

881 . Deux paraboles égales qui ont un même foyer et leurs axes dirigés en sens contraires se coupent à angle droit.

882. Si un triangle est inscrit dans une parabole, les points où ses côtés prolongés viennent rencontrer les tangentes menées à la courbe par les sommets opposés sont en ligne droite.

883. Si les tangentes PM, PM', à la parabole sont coupées en Q et en Q' par une troisième tangente, on a

PO 9^' QM "" PQ' '

884. Si l'on tire par le sommet de la parabole des cordes à angle droit l'une sur l'autre, et qu'on construise sur ces cordes un rectangle, quel e^t le lieu de son quatrième sommet ?

885. Si une parabole roule sur une autre parabole égale, les sommets

R. et nK C. — Tr. de Géom. (!!• Partin). 35

546 GÉOMÉTRIE DANS L*ESPACB.

étanl d'abord confondus, le foyer de chaque courbe trace la directrice de l'autre.

886. Quel est le lieu dee points également distants d'une droite et d'une circonférence données ?

887. Quel est le lieu des points dont la somme ou la différence des distances à un point fixe et à une droite fixe est constante?

888. Des extrémités d'une corde focale de la parabole on abaisse dea perpendiculaires sur une droite quelconque de son plan; la somme des rapports de chaque ordonnée au rayon vecteur correspondant est constante.

889. Les carrés des perpendiculaires abaissées du foyer de la parabole sur deux tangentes sont proportionnels aux rayons vecteurs des points de contact.

890. Construire une parabole, connaissant : i* le foyer ou la directrice et deux points ; a* le foyer ou la directrice, un point et une tangente ; 3^ le foyer ou la directrice, une tangente et son point de contact ; 4'' le foyer ou la directrice et deux tangentes ; 5® trois tangentes, parmi lesquelles la tangente au sommet ; 6** quatre tangentes.

§§ IV, V, VI. — Ellipse considérée comme projecUoii orthogonale dn cercle. — Parabole considérée comme limite de l'ellipse. — Ellipse, Hyperbole et Parabole, considérées comme sections planes du cône de révolution.

891. La demi-corde focale de l'ellipse ou de l'hyperbole, perpendiculaire au grand axe ou à l'axe transverse de la courbe, est égale

892. Les tangentes aux extrémités d'une corde focale se coupent sur la directrice correspondante.

893. Si la tangente en M à l'ellipse ou à l'hyperbole de centre C rencontre en T le grand axe ou l'axe transverse de la courbe, MP étant l'ordonnée du point M par rapport à cet axe, on a

CT.CP = rt«.

894. Les tangentes fixes aux sommets A et A' d'une ellipse do centre C étant rencontrées par une tangente mobile en M et en M', on projette M* sur CM en P ; démontrer que le lieu du point P est on cercle passant l>ar C.

895. Dans Tellipse ou l'hyperbole, la distance d'un foyer au pied d'une normale sur le grand axe ou sur Taxe transverse de la courbe est au rayon \ecteur correspondant du point de contact dans un rapport égal à l'excentricité de la courbe.

896. On mène l'ordonnée d'un point de l'ellipse ou de Thy perbole et la normale au même point ; le rapport des distances du pied de l'ordonnée au pied de la normale sur le grand axe, ou sur Taxe transverse et au

centre, est égal à •^-

897. MP étant l'ordonnée d'un point de l'ellipse ou de l'hyperbole dont le grand axe ou l'axe transverse est ÂA', on a