LIVRE 11. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

cond lieu de la môme extrémité est un cercle concentrique à A ( 169, y). Le problème a quatre solutions, car de chacun des deux points (Communs aux deux lieux partent deux tangentes au cercle Â.

Ainsi, dans ce problème, le nombre des solutions excède le nombre des points d'intersection des deux lieux, tandis qu'il était moindre dans le problème précédent.

3" Décrire im cercle f/iâ touche à la fois une circonférenee C et une droite AX en un point donné A (^fig. 1 27 ).

Fig. 127.

La perpendiculaire élevée par le point A sur la droite donnée est évidemment un premier lieu du centre du cercle inconnu <

Cela posé, remarquons que ce centre est à une distance du point A égale au rayon du cercle cherché, et à une distance du point C égale à la somme ou à la diflérence des rayons du cercle inconnu et du cercle donné C, suivant que les cercles se touchent extérieurement ou intérieurement.

Donc, si Ton prend à partir du point A, de part et d'autre de la droite donnée AX et sur la perpendiculaire qu'on lui a menée au point A, deux longueurs AB et AB' égales au rayon du cercle C, on voit que le centre inconnu est équidistant de B et de C si le contact est extérieur, et de B' et de C si le contact est intérieur. Les perpendiculaires élevées sur les milieux de BC et de B'G forment donc un second lieu géométrique du centre cherché, et les points 0 et 0' où elles coupent la perpendiculaire menée par A à la droite donnée sont les centres des deux cercles qui résolvent la question.

Le point 0 existe toujours, car C et B étant de part et d'autre de AX, les droites BC et AX se coupent et, par suite, aussi les perpendiculaires à ces deux droites. Mais le point 0' peut cesser d'exister, car B'C peut être parallèle à AX; le cercle C touche alors AX, et c'est cette droite <iui tient lieu du cercle 0'.

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GONSfkuCTIONS AUXILIAIRES : TRANSLATION, RENVERSEMENT, ETC.

171. Dans un grand nombre de cas, une hourease inspiration, fruit de rhabitude et d'un certain sentiment des choses géométriques, conduit à des constructions auxiliaires qui facilitent singulièrement la solution do problème proposé. On ne saurait évidemment formuler de règle générale ; la diversité de ces constructions tient à la nature si variable du sujet lui-même, et constitue au fond la richesse inépuisable de la Géométrie. L'étude comparée de plusieurs exemples bien choisis est plus instructive assurément que bien des préceptes. Toutefois, il convient de signaler quelques procédés qui réussissent souvent; tels sont la translation, la rotation, ou le retournement de certaines parties de la figure qui, permettant de mieux grouper les données, de réunir les éléments épars, rendent plus aisée la construction de la figure définitive.

Voici quelques exemples de translation parallèle :

1* Construire un trapèze connaissant les longueurs des quatre côtés

En transportant parallèlement à lui-même l'un des côtés non parallèles du trapèze jusqu'à ce qu'il rencontre l'autre, on obtient un parallélogramme et un triangle ; on sait construire le triangle, puisqu'on a ses trois côtés, et la figure s'achève immédiatement.

a* btant donnés deux parallèles XY, X'Y' et deux points A et ^situés hors de ces parallèles et de côtés diffétents, trouver le plus court chemin de A en B par une ligne brisée ÂMNB, telle que la portion MN comprise entre les parallèles ait une direction donnée (Jîg, 128).

Fig. 12^

Si l'on transporte la portion intermédiaire MN parallèlement à ellemême au point B, c'est-à-dire si l'on mène Bl parallèle à la direction donnée et égale à la longueur constante que les deux parallèles XY, X'Y' inlerceplont sur les droites ayant cette direction, on voit que la longueur de l'un quelconque AM'N'B des chemins considérés dans l'énoncé sera égale à celle de la ligne brisée AMIB ; elle se composera donc d'une partie constante Bl et d'une partie variable AM'I, et tout reviendra à chercher sur la droite XY la position du point M' pour laquelle le chemin AM'l est minimum. Or, cette position n'est autre évi-

LIVRK II. — Là CIRGOlfPÉRSNCB DE CERCLE. 101

demmentque le point M où la ligne droite AI coupe XY. Connaissant M, on n'a plus qu'à mener MN parallèle à la direction donnée et à tirer NB, pour obtenir le chemin minimum demandé AMNB.

3* Voici un mode de transltilion qui permet de résoudre un grand nombre de problèmes relatifs au quadrilatère (fig* 129) (*).

Dans un quadrilatère ABCD, on peut transporter AB et AD parallèlement à eux-mêmes en CBi et CDi. Le parallélogramme BBiDiD formé do la sorte contiendra les éléments du quadrilatère groupés d'une façon souvent avantageuse; les droites issues de C sont les côtés du quadrilatère et les angles formés autour de ce point sont les angles du quadrilatère; enfin les côtés du parallélogramme sont égaux aux diagonales du quadrilatère et forment les mêmes angles que celles-ci.

Par exemple, s'agit-il de construire un quadrilatère ABGD connaissant les diagonales, leur angle et les angles BCA, CAD. La connaissance des diagonales et de leur angle permet de tracer le parallélogramme BBi Di D: puis, à l'aide des deux autres angles, qui sont respectivement égaux à BiBC, DDfC, on a le point C par la rencontre de deux droites, et la figure totale s'ensuit.

4"^ Remarquons enfin que la translation parallèle permet de mener entre tleux lignes données une droite de direction et de grandeur données ,

Il suffit de déplacer l'une des lignes de façon que chacun de ses points décrive une droite égale et parallèle à la droite donnée ; cette nouvelle ligne coupera la ligne qui est restée fixe aux points où devra passer la droite cherchée. Nous engageons le lecteur à appliquer la solution au cas où les lignes données sont deux droites, deux cercles ou une droite et un cercle.

172. On a vu, à propos du triangle isocèle, l'avantage qui peut résulter du retournement d'une figure, et, dans la théorie des perpendiculaires et des obliques, la facilité que présente l'adjonction à une figure de la figure symétrique par rapport à une droite convenablement choisie; sur la figure ainsi doublée, on saisit parfois d'un coup d'œil entre certaines lignes des relations qui seraient, sans cela, restées souvent inaperçues.

Voici d'autres exemples intéressants de celte méthode dile/^^r repliement ou par symétrie :

i* Éta/it donnés deux imnts A et B et unedrviteXY^ trouver sur cette droite un /wint M tel que la somme AM -+- BM soit un minimum.

Si les deux points donnés sont, comme A et B' (/îg- i3o), situés de part et d'autre de XY, la droite AB' résout la question ; elle coupe XY au point cherché.

(*) p£TeRSE!f, Aféthodes et théories pour la résolution des problèmes, (Traduit par M. Chemin.)

gêomAtrie plake.

Si les deux points A et B sont d'un môme côté de XV (^. i3o), on observe que tout point M' de XY est équidislant de B et de son symétrique B' par rapport à XY (48); le chemin AM'B' est donc égal à AM'B, et il suffit de chercher le minimum de AM' B'. A et B' étant de part et d'autre de XY, on n'a qu'à tirer la droite AB' qui rencontre XY au point cherché M. Il est bon de remarquer que les deux parties AM et MB du chemin minimum sont également inclinées sur XY. En effet, dans le rabattement de la figure autour de XY, le point M restant fixe, etB venant sur son symétrique B', l'angle BMY recouvre l'angle B'MY; et, comme ce dernier est opposé par le sommet à AMX, on voit que les angles AMX, BMY sont égaux.

Fig. i3o.

Fig. i3i.

a* Étant donnés deux points A etB et une droite XY, trouver sur cette droite un point M, tel que BM — AM soit un maximum.

Si les deux points donnés sont, comme A et B' (Jîg. i3i), situés d'un même côté de XY, la droite AB' résout la question ; elle coupe XY au point cherché M. En effet. M' étant un point quelconque de XY, on a dans le triangle B'M'A

AB' ou B'M — AM > B'M' - AM'.

Si les deux points Aet B sont de part et d'autre de XY (^g. i3i), on voit, en substituant, comme précédemment, au point B son symé> trique B' par rapport à XY, qu'il suffit de tirer AB', qui coupe XY au point cherché M.

3** Le premier des deux problèmes que nous venons de traiter se présente en Optique dans la théorie des miroirs plans. L*angle d'inci* dence étant égal à l'angle de réflexion, pour qu'un rayon lumineux issu du point B vienne, après réflexion sur le miroir XY, passer par A, il faut qu'il soit dirigé vers le point M où le miroir est rencontré par la droite qui joint le point A au symétrique B' du point B. On voit par là que le chemin décrit par la lumière est le plus court parmi ceux qui vont de B en A en passant par un point de XY.