LIVRE 11. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. lo

Il en est de môme lorsqu'un corps élastique, comme une bille de billard, vient se réfléchir sur la bande XY; pour que, lancée du point B, elle arrive en A, il faut qu'elle frappe la bande au point M où cette bande est rencontrée par AB'. Il est aisé, d'après cela, de résoudre ]q problème du billard jfolygonal :

Deux points ^ et Q étant marqués sur un billanl polygonal XYZU . . .T, de n dites, vers quel point M de la bande XY faut-il lancer une bille du point i*, pour qu'après réflexions sur les bandes successives XY, YZ, ZU, . . . , elle vienne passer par le point Q?

Quel que soit le point de la bande XY vers lequel on lance la bille, le prolongement de la route suivie par la bille après la réflexion passera par le point Pi symétrique de P par rapport à XY ; après la seconde réflexion, la bille se mouvra sur une droite issue du symétrique Pi de Pi par rapport à YZ, ... ; en continuant ainsi, on obtiendra un point P^ par lequel doit passer le prolongement de la droite que suit la bille après la dernière réflexion; comme cette droite doit aussi passer par Q, la droite PnQ déterminera par son intersection avec la dernière bande le point où la bille doit la frapper; et l'on pourra dès lors, en remontant, tracer la route complète de la bille. Le problème ne sera évidemment possible que si les points d'incidence se trouvent sur les bandes ellesmêmes et non sur leurs prolongements.

En faisant la figure pour le cas du billard rectangulaire, on pourra constater que, pour que la bille revienne au point de départ, il faut la lancer parallèlement à Tune des diagonales du rectangle.

4* Construire un polygone connaissant en position les perpendiculaires ai, «2* • • • » «rt cTcvées sur les milieux des côtés (Petersen).

Soit A le sommet inconnu qui est situe sur le côté perpendiculaire a «1 ; prenons dans le plan un point arbitraire P, et construisons successivement le Bymélrique Pi de P par rapport à a^ le symétrique P^ de Pt par rapport à «s, . . ., et ainsi de suite jusqu'au symétrique P» par rapport à ol„. Si Ton avait opéré sur A comme l'on vient de le faire sur P, le point An auquel on serait parvenu serait le point A lui-même, car Al, At, • . ., A» seraient les sommets successifs du polygone. Or la longueur d'une portion de droite étant égale à celle de la droite symétrique, on aurait donc AP ^ AP^; la perpendiculaire élevée sur le milieu de PP,, passe donc par le sommet inconnu A. Un deuxième point arbitraire, Q sur lequel on opérera comme sur P, fournira un deuxième lieu du sommet A, qui sera ainsi déterminé par l'intersection de deux droites.

On résout par des considérations analogues la question qui consiste à tracer le polygrme de périmètre minimum ayant respectivement un sommet sur chacune des droites indéfinies qui forment les côtés d'un polygone donné, attendu que deux côtés consécutifs du polygone inconnu doivent

(i"*) être également inclinés sur la droite qui contient leur point d'intersection.

Nous ne donnerons qu'un exemple de remploi des roiations^ nous proposant de revenir sur ce sujet après la théorie de Thomothétie.

Étcuit donnés deux cercles 0 et 0' et deux points k et h situés sur la circonféê^ence du cercle 0, trouver sur cette même circonférence un point M tel que, si ? et Q sont les points où AM et BM rencontrent respectivement la circonférence 0', la droite PQ ait une longueur donnée (Jîg. i3i bis).

L'angle PO'Q est connu de grandeur, puisqu'il fait partie d'un triangle PO'Q dont on connaît les trois côtés. L'angle AMB est aussi

Fi g. i3i bis.

connu, puisqu'il est inscrit dans un arc donné. Faisons tourner le triangle (VPA, autour de 0', d'un angle cd égal à PO'Q, de manière à amener O'P sur O'Q. Si A' est la position que prend ainsi le point A, et si l'on désigne par I l'intersection de PA et de QA', l'angle MIQ sera égal à l'angle de rotation u) ou à son supplément. On connaîtra donc dans le triangle MIQ deux angles M et I et, par suite, l'angle BQA'. Mais B est donré, et le point A' s'obtient en faisant tourner O'A de l'angle ci> autour de 0'. Donc le pointQsera sur le segment capable de l'angle connu BQA', décrit sur une droite connue BA'; comme ce point Q appartient, en outre, à la circonférence 0', il sera déterminé.