HO'=0'H'=H

Donc 0' est à la rencontre des perpendiculaires élevées sur les faces du tétraèdre par les milieux des segments HiGi, HjGi, ...; par conséquent, la sphère 0' passe également par les points Hi, Hj, .... Enfin, la droite G^O' coupe Aa-H en un point La- appartenant à la sphère O' et tel, que UH = H'Ga = iA^H.

Remarque. — Les points H, H' sont des points inverses par rapport au tétraèdre A1A2A3A4. Les droites Ai H', AjH', A3 H', A4 H' sont perpendiculaires aux faces de tétraèdre H1H2H3H4.

26 . Un tétraèdre orthocentrique A 1 Ai A3 A 4 ^.r/ autopolaire par rapport à une sphère ayant pour centre l'orthocentre du tétraèdre.

Car, U étant rorthocentro des triangles Ai Ai M, . . ., on a

HAi.HHi = HAi.HH, = HAa.HH, = HA4.HH4; donc chaque sommet est le pôle do la face opposée par rapport è la sphère décrite du centre H avec le rayon v^HAi.HHi. Toutefois, pour que cette sphère soit réelle, H doit tomber à l'extérieur du tétraèdre,

(•) Comparer ce qui précède avec le» Exercices 639, 640, 641, 1029, 10^5 (p. 5ao, 521, 55g).

GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE. 6l5

ee qui exige que l'un des angles solides du tétraèdre soit composé de trois angles plans obtus.

Rkmarql'b.

Les sphères circonscrites aux tétraèdres Ai Ai As A4 et HtHsH3H4, la première sphère de douze points de Ai As A3 A4 et la sphère conjuguée ont pour plan radical commun le plan d*homologie des tétraèdres AiAjAaA^, HiHjHsH^.

27. Les points Ai, Aj, A3, A4, H sont les sommets d'un pentagone ort/io» centrique: la droite qui joint deux quelconques de ces points est perpendiculaire au plan passant par les trois autres points ; chacun de ces points est l'orlhoccntre du tétraèdre ayant pour sommets les quatre autres points.

Pour construire un tétraèdre orthocentrique, on peut prendre arbitrairement les sommets Ai, A2, A3; le quatrième sommet A4 est un point quelconque de la perpendiculaire menée sur le plan du triangle Ai As As par son orthocentre. On peut également se donner à volonté un irièdre A4A1ASA3; les plans menés par les arêtes du trièdre perpendiculairement sur les faces opposées {plans-hauteurs)^ se coupent suivant une même droite A4X, et un plan perpendiculaire à A4X forme avec le trièdre donné un tétraèdre orthocentrique.

Les arêtes d*un trièdre et l'intersection de ses plans-hauteurs constituent un quadraréte orthique : chacune de ces droites est l'intersection des plans-hauteurs du trièdre ayant pour arêtes les trois autres. Un plan perpendiculaire à Tune des droites coupe les quatre lignes aux sommets d'un quadrangle orthique, c'est-à-dire en quatre points dont chacun est l'orthocentre du triangle des trois autres sommets.

Les hauteurs d'un tétraèdre orthocentrique forment un quadraréte orthique.

28. On sait que toute conique passant par les sommets d'un triangle et par son orlhocentrecst une hyperbole équilatère. {Exercice 1067, p. 563.)

Un cône du second ordre, circonscrit à un quadraréte orthique S A Ai Aj A3 jouit également de propriétés particulières : il est capable d'une infinité de trièdres trirectnnglcs ^ et d'une infinité de quadrarétes orthiques.

En effet, un plan a perpendiculaire k la droite SA coupe le cône suivant une conique K, et les droites SA, SAi, SAs, SA3 en dos points que nous indiquons par A, Ai, At, A3. Comme A est Torlhocentre du triangle Ai Ai As, K est une hyperbole équilatère.

Prenons sur K un point quelconque B], et menons par S un plan per- {)endiculaire à la droite SBi ; si Es, B3 sont les points de rencontre de ce plan avec K, A est l'orthocentre du triangle BiB^Bs, car ce triangle est inscrit à l'hyperbole équilatère et la droite BiA est perpendiculaire à BsBa. Soient Ci, Ci, Cs les points où les droites BiA, B|A, BsA

6l6 NOTE iri. — GÉ031ÉTRIE Dt' TÉTRAfellRE.

coupentB2B3,B3Bi,BiB2.0na ABi.ACi =AB2.AC2 = AB,vAC3 cl, comme

sa' = — ABi .ACi, on a aussi SA = — ABj.ACâ = — ABs.ACa^d'où l'un

coiicliit que les angles BjSG2j B3SC3 sont droits et que le trièdreSBi B^Bj

est trirectangle.

Réciproquement, tout cône du second ordre circonscrit à un trièdro trirectangle SB1B2B3 jouit do la propriété que les plans-hauteurs do tout trièdre inscrit SAA1A2 se coupent sur le cône. Car, si un plan 3 perpendiculaire à SA coupe les arêtes des deux trièdres en Bi, B*, B;, A, Al, A2 et le cône suivant la conique K, le point A est, d'après un théorème connu, l'orthocentre du triangle B1B2B3; il en résulte que \^ est une hyperbole cquilatère. Soit A3 le point où la perpendiculairo menée de A sur Ai A2 coupe l'hyperbole; A est l'orthocentre du Iriani^le AiA2A3 et, par suite, SA est rintersection des plans-hauteurs du trièdro SA1A2A3, et SA3 celle des plans-hauteurs du trièdre SAAiAj.

Le cùne que nous venons de rencontrer est dit cône cquilatère ; coiumo une génératrice quelconque SBi est une arête d'un trièdre trireclaiinle inscrit SBiBaBa, un plan perpendiculaire à SBi coupe le cône suivant une hy})erbole équilalère dont les asymptotes sont parallèles à SBj, SBj.

29. Les hauteurs d'un tétraèdre quelconque Ai A2 A3 A^ sont des ^rné^ ratriccs d'un hyperhololdc équilatère, dont le centre ti) est symétrique du centre 0 de la sphère circonscrite par rapport au centre de f^rai'ifc Ci.

Soient AiIIi, . . ., les hauteurs du tétraèdre Ai AjAsA^, et //i, . . ,, les orthoccnlres des faces. Les plans H1A1//4, Il2A2//^, lUA^h^ sont perpendiculaires au plan Ai A2 A3, car ils contiennent, chacun, deux perpendiculaires à un même côté de triangle A1A2A3. Il résulte de là que la perpendiculaire hs^x menée par h;, sur le plan A1A2A3 rencontre les quatre hauteurs du tétraèdre. On peut do même trouver trois autres droites s'appuyant sur AjHi, A2II2, A3II3, A^H^. Les hauteurs sont donc des génératrices d'un môme hyperboloïde.

CfMe surface est coupée par le plan AiA2xVa suivant une hyperbole é(iuilatèrc K, car les points Ai, Aj, A3, ùs, appartiennent à la courbe d in- . tersection. Or, trois génératrices du cône asymptote sont parallèles aux asymptotes de l'hyperbole K et à Ai II,; ce cône est donc équilalère.

Le centre w de l'hyperboloïde est équidislant des génératrices parallèles A4IU, //4.r. Celles-ci étant contenues dans les plans menés par les points A^, Al perpendiculairement à A2A3, to est situé dans le plan mené par le milieu do A4 Ai perpendiculairement à AjA;,, plan qui est symétrique, par rapport à G, du plan perpendiculaire au milieu de Aj A3. On en conclut que w et 0 sont symétriques jwr rapport à (1.