SUR LES HAUTEURS D'UN TÉTRAÈDRE
22. Nous désignons {Jig. 6) par Hi, Hs, H3, H4 les projections des sommets du tétraèdre A] As A3 A4 sur les faces opposées.
Si deux hauteurs AiHi, k^Yit se coupent en un point H, les arêtes Ai As, As A4 sont perpendiculaires, et les hauteurs A3H3, A4H4 se coupent également en un point \V; les points II, H' sont situés sur la plus f'ourte distance MN des arêtes Ai As, As A4.
En effet, le plan Ai As II est perpendiculaire auxplansAsAsA4, A1A3A4 et, par suite, h leur intersection A3 A4 (S58, 561); donc Ai As, A3A4 sont rectangulaires. Réciproquement, si ces arôtes font un angle droit, on peut mener par Ai As un plan a perpendiculaire à A3 A4, et ce plan con-
6ia NOTE m.
tient nécessairement les hauteurs ÂiHf, AiHs (5âl); de même, le plan a' mené par A3 Â^ perpendiculairement à Ai At contient les droites AjHt, A4H4. Les plans a, a' se coupent suivant une droite MN, qui est la per-
Fig. 6.
pendiculaire commune à Ai Ai, AjA^; cette droite est une hauteur de chacun des triangles A1A2M, AsA^N.
On trouve facilement les égalités
d'où
A^M — A3M = A^ Aj — AaAj = A^Ai — AjA|,
al =a\
Soient ^1, ^2? <^3» ^4 les coordonnées normales d'un point quelconque P de la hauteur A^H^; on a
Xi = A4Pcosai, Xî = A4Pcosaj, ^'3 = A^Pcosa»,
d'où
cosai cosaj cosaj De même, pour les coordonnées de tout point de A3 H»,
cosas
cosa^
cosa3
GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE. 6l3
Si les hauteurs A4H4, Â3H3 ont un point commun H', on a, nécessairement,
cosai cosa^ = ces a» cosas.
23. Supposons maintenant {fig. y) que les trois hauteurs Âi Hi, ÂsHs, A3H3 concourent en un môme point H. Alors, d'après ce qui pré-
Fig. 7.
code, les arêtes opposées AiAj et A3 A4, As As et A^Ai, As Ai et Ai As sont perpendiculaires, et
a} H- rtj = r/l H- «J = rtj -+- a^,
cos ai cos «v = cos «j cos aj ~ cos ol^ cos «e ;
de plus, la hauteur A^H^ passe également par H. Les plus courtes distances des arêtes opposées se coupent également en H ; les pieds de ces droites sont les pieds des hauteurs des faces du tétraèdre, et les points Ht, Ils, H3, Ut, sont les orthocentres des faces.
Le tétraèdre particulier que nous venons de rencontrer a été appelé tétraèdre ort/tocentrifjue.
21. Dans tout tétraèdre orthocentriquc AiAsA3Ai, les milicitjc des
6l4 NOTE III.
arêtes et les pieds des plus courtes distances des arêtes opposées sont douze points d'une même sphère, ayant pour centre le centre de gravité G du tétraèdre (première sphère de douze points).
Car, les milieux de deux couples d'arêtes opposées étant les sommets d'un rectangle, les trois médianes du tétraèdre sont égales, et G est le centre d'une sphère passant par les milieux des six arêtes. Cette sphère passe, évidemment, par les circonférences des neuf points des faces du tétraèdre; donc elle contient les pieds des hauteurs de ces faces, et son centre est au milieu de la distance comprise entre Torthocentre H du tétraèdre et le contre 0 de la sphère chrconscrite (*).
25. Dmis tout tétraèdre orthocentrique ÂiÂiAsA4, les centres de gravité des faces, leurs orthocentres et les points qui divisent dans le rapport 2 : i les segments des hauteurs du tétraèdre compris entre les sommets et leur point de concours H, sont douze points d'une même sphère, dont le centre 0' divise la distance HO dans le rapport 1 : 1 (seconde sphère de douze points).
£n effet, les centres de gravité Gi, Gs, G3, Gi des faces du tétraèdre sont les sommets d'un tétraèdre homothétique à Âi Ai A3 A4 par rapport à G; les hauteurs de ce nouveau tétraèdre concourent donc en un même point H' de la droite HG, et l'on a IIG = 3 GIF; le centre 0' de la sphère G1G2G3G4 divise la distance HO dans le rapport 3 : i. Comme on a HiGi= 3GiOi et, par suite, HH'= 3H'0, on voit aisément que
