Régiproqubmbnt, lorsque plusieurs sécantes AA', BB
ce, DD', coupent deux parallèles en parties proportionnelles ^
ces sécantes concourent en un même point [fig. i58}.
a Appelons t le rapport de deux parties correspondantes quel*
conques des deux parallèles» de sorle qu'on ail
AB "" AC ~ iiC 6'
i** Si les deux séries de points A, B, C, D, et A', B', C, D',
présentent une disposition inverse Tune de l'autre (Jig, i58),
deux sécantes quelconques AA' et CC se coupent en un point 0
intérieur aux deux parallèles; déplus, les triangles semblables
' OACOA'C, donnent
OV __ A^ a OA ^ AC "^ 6'
Ainsi, l'une quelconque CC des sécantes coupe la première d'entre elles AA', en un point 0 situé entre A et A' et tel que '
Toutes les sécantes concourent donc en ce point 0 (179).
a» Si les deux séries de points A, B, C, D et A', B', C, i)', sont disposées de la même manière {Jig. i58), on verra de même qu'une sécante quelconque CC coupe la première AA' en un point 0 situé hors de AA' et tel que
OA' a OA" ""6'
Toutes les sécantes concourent donc aussi en ce point 0 ( 179 }.
216. Lorsque le rapport t est égal à l'unité, les parties correspondantes des deux parallèles sont égales entre elles, et les sécantes sont toutes parallèles. Le théorème énoncé subsiste donc, à la condition de regarder deux parallèles comme deux droites qui concourent à l'injini,
THÉORÈME
217. Le lieu des points dont les distances à deux droites fixes ont un rapport donné est un système de deux droites passant par le point de concours des deux premières [Jig, iSg)
En effet, soient OU et OV les deux droites, et M un point
l3/| GfiOMÉTRIE PLANE.
quelconque pris dans Tinlérieur de l'angle VOU ou de son opposé par le sommet;
FJg- iSg. Fîg. 159'.
Menons par M les perpendiculaires MP el MQ sur OU et OV et les parallèles MK et MI aux mômes droites. Quand le point M se déplace d'une manière quelconque dans Tangle UOV, le triangle MPI reste semblable à lui-même, puisque ses côtés
MI
conservent leurs directions; le rapport v^-p reste donc con-
stant; il en est de même du rapport tjtt et, par suite» de leur
,. MI MQ - ,. , . . w . . MQ
quotient rjY vfS* '-^ *i®" "^^ points M pour lesquels ^
reste constant est donc le même que celui des points pour
MI MI lesquels r^r^ ou ^ est invariable; mais alors, le triangle MOI
M h. Ul
restant semblable à lui-même, puisqu'il a un angle constani OIM compris entre deux côtés dont le rapport est fixe, l'angle MOI de ce triangle reste constant; donc le lieu du poini M est une droite OL passant par 0.
De même, dans l'angle VOU' et dans son opposé par W sommet, le lieu est une droite OL' passant par 0.
SCOLIBS.
218. Lorsque le rapport donné est égal à Tunité» le lieu est Tensemble des bissectrices des angles VOU, VOU' (53).
219. Au lieu de mesurer les distances du point M à OU et OV perpendiculairement à ces droites, on pourrait les estimer suivant des directions déterminées quelconques, la démons* tration et, par suite, le théorème subsisteraient.
L1VRR m. — LES FIGURES SEMBLABLES.
2âO. Enfin, si les deux droites données U et V étaient pa-
MP
rallèles (Jig, i5g'i, le rapport constant ^ir^ étant égal à
