O'G "= CO" - CG"=: (CO'4- CG)(CO' - CG

or, les moyennes CO' et CG sont toutes deux supérieures à la plus petite B des deux lignes proposées; on a donc

(^— — j>2B.C), dou 3<i— -^.

Ainsi, la différence entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de deux longueurs A etB est moindre que le carré de la différence de ces longueurs, divisé par huit fois la plus petite.

250. Pour mettre en équation un problème de Géométrie, il suffit de concevoir que toutes les longueurs soient rapportées à une même unité, sans qu'il soit besoin de fixer cette unité commune, qu'on laisse, au contraire, indéterminée. Les raisonnements étant indépendants du choix de cette unité, c'est-à-dire de l'échelle à laquelle a été construite la figure que l'on a sous les yeux, si les raisonnements et les calculs sont justes, l'équation à laquelle on parvient doit pouvoir supporter, sans altération, un changement dans un même rapport de toutes les données linéaires, les données angulaires restant les mêmes. En d'autres termes, l'équation doit être homogène, c'est-à-dire telle qu'en y multipliant par un même nombre chaque lettre exprimant la mesure d'une longueur, ce nombre disparaisse de lui-même

Si Vinconnue est une longueur^ la formule qui exprime sa mesure doit donc être homogène et du premier degré; construire cette formule, c'est trouver la longueur inconnue par des opérations graphiques exécutées sur les longueurs dont les mesures entrent dans la formule. Nous allons montrer qu'o/i peut construire, à l'aide de la règle et du compas, toute exprès-

l54 GÉOMÉTRIE PLANE.

sion rationnelle ou ne renfermant d'autres irrationnelles que des radicaux ayant une puissance de 2 pour indice.

Pour plus de clarté, nous représenterons les longueurs par des lettres majuscules et les nombres qui les mesurent parles lettres minuscules correspondantes.

I* Si la formule est de la forme

on portera, à Taide du compas, à partir d*un point 0, sur une droite fixe, les unes à la suite des autres, d'abord les longueurs A et B dans un même sens, puis C en sens contraire, D dans le sens primitif, enfin £ en sens contraire ; M étant Textrémité de cette dernière, la longueur OM sera la longueur inconnue X. a<^ S*il s*agit d'un monôme fractionnaire

y ^> giflais

(le nombre des facteurs du numérateur surpassant d'une unité celui du dénominateur'!, on écrira

d'où

c a, a, bt

Cl a, c b.

en sorte que X s'obtiendra en construisant une suite C, C, X de quatrièmes proportionnelles.

3" Le procédé précédent ne suppose pas qu'au numérateur, comme au dénominateur, les facteurs soient inégaux. 11 résulte de là que, p étant un monôme quelconque de degré A* et u la mesure d'une longueur U donnée, on peut toujours construire une longueur A, telle que

«=-f-» ou i? = w*-'.a.

Cela posé, soit une fonction rationnelle quelconque (homogène et du premier degré )

p» -+-/?! — p2-\- Pi

l*tfPijPuPi désignant des monômes de degré quelconque /i, et '/», ?i. ?! des monômes de degré /r — i. U étant une longueur prise à volonté, on construira d'abord des longueurs A», A,, Aj. Aj, B„ B„ Bi, telles que l'on ait

gn aura alors

oi enfin, en désignant par S et T les longueurs

Sz^A.-\- A. - A. -h A3, T ^ lîo— B. -+- Bv,

il \iendra

en sorte que X s'obtiendra par une quatrième proportionnelle iT, SetU.

4" Considérons maintenant les expressions irrationnelles.

Soit le radical du second degré

où p et ^ désignent des expressions entières et homogènes l'une de degré /r, l'autre de degré fr — 2. U étant une longueur prise à volonté, on construira d'abord deux longueurs A et B telles que Ton ait

p = ?!*-* . rt, q = M*"' . b.

On aura dès lors

X sera donc la moyenne proportionnelle entre U et une longueur L quatrième proportionnelle à B, A et II.

Si l'indice du radical était une puissance de a supérieure a la première, la quantité sous le radical étant une fonction ralionnelle ei homogène de même degré que cet indice, on

l56 GÉOMÉTRIE PLANE.

remplacerait ce radical par une suite de radicaux du second degré superposés. Soit, par exemple.

= \Ja^ — 0'\

on déterminera, au moyen de quatrièmes proportionnelles successives, une longueur C, telle que

on aura alors

et X s'obtiendra en construisant deux moyennes proportionnelles successives.

251. On peut avoir à construire une formule non homogène provenant de ce que Ton prend Tune A des lignes de la figure pour unité ; il faut alors commencer par rétablir V homogénéité ; c'est-à-dire par chercher la formuh» qui remplacerait la proposée, si Ton avait laissé l'unité arbitraire.

Or, soit a le nombre qui mesurerait la longueur A (prise d'abord pour unité) si l'on adoptait une autre unité U d'ailleurs arbitraire. Soient 6, c, . . ., les mesur.es des autres longueurs B, C, . . ., l'unité' étant A, et 6', c\ . . ., leurs nouvelles mesures, l'unité étant U. Puisque le rapport de deux grandeurs est toujours égal au quotient des deux mesures quelle que soit l'unité commune, on a

H suffira donc de remplacer, dans la formule donnée, 6, c, . . . . par ces valeurs, ou plus rapidement, en supprimant les accents, de remplacer b, c, . . . , par -, - /

Par exemple, si l'on donne la formule

Cil la remplacera par la suivante :