Construire sur une droite donnée : i® un triangle sem

Fig. 177.

Fig. 178.

fi'

--aaj

btable à un triangle donné; 2® un polygone semblable à un ' Polygone donné {fig. ij'j).

r58 . GÉOMÉTRIE PLANE.

I® Pour construire, sur la droite A'B' considérée comnie rhomologue de AB, un triangle senoblable au triangle ABC, faites un angle B'A'C égal à l'angle BAC, et un angle A'B'C égal à Tangle ABC. Le triangle A'B'C ainsi obtenu et le triangle donné ABC seront semblables comme ayant deux angles égaux chacun à chacun (200).

2** Pour construire, sur la droite A'B' considérée comme rhomologue de AB, un polygone semblable au polygone ABCDE, décomposez ce dernier polygone en triangles, en menant par Tun des sommets A les diagonales AC, AD. Construisez alors sur A'B' un triangle A'B'C semblable au triangle ABC, puis sur A'C un triangle A' CD' semblable au triangle ACD, enfin sur A'D' un triangle A'D'E' semblable au triangle ADE. Le polygone A'B' CD' F ainsi obtenu et le polygone donné ABCDE seront semblables comme composés d'un même nombre de triangles semblables et semblablement disposés.

La similitude de chaque couple de triangles exigeant deux conditions, on voit que la similitude de deux polygones de n côtés exige i[n — i) ou 2/1 — 4 conditions; leur égalité en exige 9.n — 3, c'est-à-dire une de plus; et, en effet, deux polygones égaux sont deux polygones semblables dont le rapport de similitude est égal à l'unité.

253. Si, au lieu de donner un côté A'B' du polygone demandé, on donnait le rapport de similitude — » on pourrait encore appliquer la solution précédente, en construisant préala-

blement une droite A'B' dont le rapport à AB fût égal à — (246]

Dans ce cas, on préfère souvent opérer de la manière suivante :

On joint [fig. 178) les divers sommets du polygone donné ABCDE à un point 0 choisi arbitrairement dans le plan de ce polygone; on prend sur OA une longueur OA' dont le rapport

à OA soit égal à — ; puis on mène dans Tangle AOB la parallèle A'B' à AB, dans langle BOC la parallèle B'C à BC, . . . , et

LIVDE m. — LES FIGURES SEUBLABLES. iSq

ainsi de suite. Les polygones A'B'C'D'E', ABCDE, sont semblables, car (210) les triangles additifs OB' A', OA'E', OE'D , et les triangles soustractifs OB'C, OC'D% dont la réunion constitue le polygone A' B' CD' £', sont respectivement semblables aux triangles OBA, OAE, OED, et aux triangles OBC, OCD, qui forment par leur assemblage le polygone ABCDE.

PROBLÈME

254. Construire deux droites, connaissant leur somme et leur produit (Jig. »79).

Soient BC la somme donnée et A une droite dont le carré est égal au produit donné. Supposons le problème résolu, et soient BF et FC les deux droites demandées ; si sur BC comme diamètre on décrit un demi-cercle, la perpendiculaire FE sera moyenne proportionnelle entre BF et FC (223), et par suite égale à A ; la parallèle menée par E à BC interceptera donc une

Fig 179.

longueur BD égale à A sur la tangente en B. De cette analyse, résulte la construction suivante :

Sur BC comme diamètre, décrivez un demi-cercle ; au point B, élevez BD perpendiculaire sur BC et égale à A, menez DEË' parallèle à BC, et projetez en F et en F' sur BC les points £ ei E' où cette parallèle rencontre le cercle. Les deux droites cherchées seront BF et FC, ou, ce qui revient au même, BF' eiF'C.

Ainsi, le problème, quand il est possible, n'a qu'une solution. Pour qu'il soit possible, il faut et il suffît que la parallèle DEE' rencontre la demi-circonférence, c'est-à-dire que la droite BD ou A ne surpasse pas le rayon OE ou la moitié de BC. Lorsque la quantité A atteint sa valeur maximum |BC, la parallèle DEE' est tangente au demi-cercle, et les deux segments

l60 GËOXfiTRlK PLANE.

de BC sont OB et OC. On voit par là que le produit de deux droites, dont la somme est constante, est maximum lorsque c^ droites sont égales entre elles.

SCOLIE

25Ç. En représentant par /> et 9 la somme et le produit donnés, on a

EO =r BO = CO = ^ ; FE = BD = v^^,

OF rr: \J EO - Ef' = i/j - q.

et, par suite,