BF OR OF

B'F' ^WW^O'l"

LIVRB III. — I.BS FIGURES SEMBLABLES. I75

maiSf les polygones proposés étant semblables, leur rapport de similitude est égal au rapport des côtés AB, A'B% ou des demi-côtés BF, B'F'; il est donc aussi égal au rapport des rayons OB, O'B', ou au rapport des apothèmes OF, O'F',

270. Supposons la circonférence divisée en m parties égales; désignons par a la longueur de Tune des parties, et joignons les points de division de p en p^k partir de l'un d'eux.

Si p est premier avec m, la circonférence ma et Tare pa sous-tendu par chacune des cordes successives auront pour plus petit multiple commun pma, et l'on reviendra au point de départ après avoir parcouru p fois la circonférence ou m fois Tare pa. On aura donc formé ainsi un polygone régulier de m côtés. Par exemple, dans la^g^. 190 où la circonférence est divisée en 10 parties égales, on obtient, en joignant les points de division de 1 en i, le décagone convexe, et enjoignant ces points de 3 en 3 un décagone régulier étoile.

Si p et m, au lieu d'être premiers entre eux, ont un plus grand commun diviseur 9, le plus petit multiple commun de

Tare pa et de la circonférence ma sera -^«. On reviendra alors au point de départ après avoir parcouru ^ fois la cir-

conférence ou -g- fois l'arc pa; en d'autres termes, on aura

formé ainsi un polygone régulier de -^ côtés, et non plus de

m côtés.

Au premier abord, il semble résulter de là qu'il existe autant de polygones réguliers (convexes ou étoiles) de m côtés qu'il y a de nombres premiers à m dans la suite 1, a,..-, m — I. Mais, si l'on remarque qu'en joignant les points de division de p en p, p étant premier à m, on obtient le même polygone qu'en les joignant de m—/? en m—p, on voit qu'en réalité le nombre des polygones réguliers de m côtés est égal au nombre des entiers premiers à m contenus dans la suite

D'après cela» il n'y a qu'un hexagone régulier; il y a deux pentagones réguliers , deux décagones, quatre pentédécagonesy etc.