Inscrire un carré dans un cercle donné ijig. t

Fig. i88.

Il suffît évidemment de mener deux diamètres' AC et BI) perpendiculaires entre eux, et de joindre leurs extrémités, pour avoir le carré demandé ABCD.

Le triangle AOB, rectangle en 0, donne

AB =:0A -hOB ==20A , d'où AB = 0A.\/2.

Ainsi, le côté du carré inscrit dans le cercle de rayon R est

égal à R . ^2.

Il convient de remarquer que l'apothème du carré inscrit est égal à la moitié de son côté, et que le côté du carré circonscrit est égal au diamètre du cercle considéré.

Corollaire.

272. Du carré, on passe à l'octogone régulier inscrit en divisant {Jig. i88) chacun des arcs AB, BC, CD, DA, en deux parties égales. On déduirait de même de l'octogone le polygone régulier de i6 côtés,. . ., et ainsi de suite. On peut donc, avec la règle et le compas, inscrire les polygones réguliers de 4> 8, i6, 32, .... , et, en général, de 2" côtés.

273. Inscrire un hexagone régulier dans un cercle (Jig* 189). Supposons le problème résolu, et soit ABCDEF l'hexagone

demandé. En menant deux rayons consécutifs OA» OB, on obtient un triangle OÀB qui est Isocèle, et, par suite, doni

Fig. 18g.

les angles A et B sont égaux. Mais, si Ton remarque que le rayon BO prolongé passe par le sommet £ de l'hexagone, on voit que l'angle inscrit ABE a pour mesure la moitié de l'arc AFE, c'est-à-dire une division de la circonférence; et comme l'angle au centre AOB a aussi pour mesure une de ces divisions AB, les deux angles ABO'et AOB sont égaux, et le triangle Ox\B est équilatéral. Donc, le côté de Vhexagone inscrit dans un cercle est égal au rayon R de ce cercle.

Pour inscrire un hexagone régulier dans un cercle, il suffit, d'après cela, de porter six fois sur la circonférence une ouverture de compas égale au rayon, et de joindre les points de division consécutifs ainsi obtenus.

Corollaires.

27 i^. En joignant de deux en deux les sommets de l'hexagone, on obtient le triangle équilatéral inscrit ACE. Le triangle rectangle ACD donne

d'où