Quand deux triangles ABC

deux: à deux sur trois droites OA' A , OB'IÎ, OC'C, coni.ourant en un nwnic point 0 , leurs côtés se reninntrent deux h deux [BC et B'C, AC et A'C, AB et A'B')

droUe [Jïg. 2Jl).

•■Vil. Qiiiinddeitx triangles ABC, A'B'C, sont tels, que leurs côtes se coupent deu.c h deux (BC et B'C, i j AC et A'C, AB et A'B') en trois ■ \ points y.Jf, y, situés en ligne dnitu, , \ leurs sommets sont situés deux à i I deux sur trws droites OA! A, OB' B-, : i OC'C, concourant en un même I point Oyig.^ll).

En elTeL, désignons par D et D' I En effet, soitl l'intersection de la

les points où la droite OC'C reii- droite KË7 et de CC; on aura (320 , contre respectivement les côtés Ali

et A'B'. Le faisceau des quatre (C^'/ip) =^ (Csyl^).

— LES FIGUHES SEHBLAni.rS-

clroi(usOv,OB,OA, oc, étant coupé pai' les deux t.ransvecsales ÂB et A'B', ori a (320)

(7BAD) = (ïB'A'D'), et iKir suite (32H)

(C'/BAD) = lC'.7B'A'D').

Or, ces deux faisceaux ont un rayon liomologue commun DD'; donc les points de concours 7 , k, p, dej trois autres couples de rayons homologues (322) sont en ligne droile.

Ces dSHï l\ii

Donc, en coupant le pri^raier faisceau par Aii et le second par A'B', et en appelant D et D' les points où ces droite? coupent CC, on aura (323)

(B7DÂ) = (B'7D'A'). Or, ces deux figures rectilignes ont un point homologue commun 7; donc les droites BB', DD', AA', qui joignent les autres points homolo-

i gués deux il deux, concourent (32i)

; en un même point 0.

Besargues, gùomètre du xvn' siècle,

ont été l'cpris paz' Poiicelol (Traita des P/vpriètés pivjectives), qui en s fait la base de sa 'l'héorie des figures Iwmologiques. Les deux triangles ABC, A'B'C, qui satisfont aux conditions précédentes, sont dits hminih- D-/ç«Wj- le pointOetladroileaf 7 sont appelés le ce«i/-eeï;'ti'xcJ7wHfi/')^i^. ■Si^.IinnHoathexaffmekSniW Z^Q.X>aristouc/ieJ:agoneA^mF inscrit à une circonférence , les circonscrit h un cercle, les trois diapoints de concours L,tit,'ti, des trois gonales AD, BE, CF, qui unissent couples de côtés opposés AB et DE, les sommets opposés, se coupent en BCwEF, Cùet kV,sont en ligw- un même point 0 (/^.aiS). droite [Jîg.m).

Fis. îia. Fis. :ii3.

Bt, on a (321, 1°) (A.BFED)={C.BFED).

EneffeljSoientlet Mlespointsoù le calé AB rencontre FE et DE, et L et N les points où CD rencontre AF ei

âtOMËI'H[E E'LAtSK.

Par Euito (320), en coupant le premier Taisceau par la droite DE, le second iwr la droite FE, et nommant G riaterseetion dp AF et de DE, Il'intcrsection (le EF et de CD, on aura

(LGED) = (MFEi).

Or, ces deus figures reclilignes ont un point fiomologua commun E; donc (39i) les droites LM, GF, DI, qui joignent les autres points homologues deux à deux , se coupent en n IDE ne po n N L o s po nts

L A N ou

FE; on aura (031 , a"), on considérant lesdeuï tâtésnoncontignsAU et Crt coupés par les quali-e autres,

(BAIM) = (CLKD).

Par siiiio,

(E.BAIM) = (F. CLKD).

Or, ces deux faisceaux ont un rayon homologue commun IN; donc (322 ) les poinis de c-oneours 0, A, D, des trois auti-es coupleà EB et FC, ËA et PL, iïM et FD, de rayons homologues, sont eu Ii<,n)t> droite. Les

OIS d 0 es ÂD BC Cl' ssen don un même p n

C ■ne d L n h n

9d premiers, il s'agit de /ioùns eu ligne droite, et dans les seconds de droites tjid ciinciHir-eiu en an même point. On distinguo en eifet, dans la science de l'étendue, deus genres de propositions , les unes se rapporfant à des points, ies auti'es à dos droites, et se correspondant en vertu de ce qu'on a nommé le principe de dualité. Un des grands avantages du rapport anharmonique est de se prêter indifféremment à ces deux genres de propositions corrélertieen, et d'en fournir des démonstrations directes et corrélatives à leur tour. On peut voir, en effet, que, dans les propositions que nous avons placées en r^ard l'une de l'autre, on pusse de l'énoncé et de la démonstration de l'une à l'énoncé et à la démonstration de l'autre, en substituant certiiins faisceaux de droites coiicouranfesà CErLi.iiies Si-rios rectilignes de quatre points, et réciproquement.

Le lliéorènie fondamental du n° 320 était comm des anciens; il se trouve dans les CoUectiom mcukéinati<ju,es de Pappus, qui vivait à Alexandrie à la Un du iv" siècle, o Aucune autre proposition, dit M. Chasies dans la préface du Traité de Géométrie sapérieare, ne me paraît aussi propre à servir de lien entre les diverses parties d'une figure dont on veut déciiuTir ou démontrer les propriétés. La proposition la jilus fréquemment employée est celle de la proportionnalilé entre les côtés des

triangles somblables; mais ces tritaigles ii'csislenl jias en §6néral dans les données de la ques tion, et il faut cherutier à les former par des lignes auxiliaires, tandis que les rapports anharmoniques s'aperçoivea! presque to njours dans la figure mSnie ou |iBuvent s'y former aisément. »

On se convaincra de la vérilé do ces assertions en comparant la démonstration que nous venons de donner (328) du théorème de Pascal à celle qui résulterait, ])or exemple, de l'emploi de la théorie des traïuversales.

Pour démontrer par les transversales le théorème de Pascal, on considère le triangle formé par trois côlés non conséculifs de l'hexagone inscrit. Ce triangle est ûoii|)6 par chacun dos trois autres eàtes, et, en appliquant successivement h c!:aciine de ces transversales le tliéorèrao du n" 3i0, on obtient trois relations dont le produit, membre à membre, se réduit à une nouvelle égalité de môme forme entre les segments que déterminent, sur les côtés du même triangle, les points de concours des côtés opposés de l'hexagone, La réciproque établie au n"3i0prouYe alors que ces trois points de concours sont en ligne droite. On voit combien cette démonstration, que le lecteur rétablira sans peine d'après cette analyse, le cède pour !a simplicité à celle du n" 328.