D'après cela, on peut iJire i.-'iSî) qw
Dans tout sjutéiile harin'ii'.i'.jila ila qualm point-!, la dhlmlco de i'un des points à son conjugiid e.'C la in'tycimo harmiiitifjue de la di^lancu du même point ai'.!: Je'.;j.' aiif.rt:< :
Daiif foi/l .tij/àiiia //aniion.'qiis de qiudre points, im point est, pat nippoft à -ton conjii-^uc', le centre des moyenne.'/ Iiammnifjues des den.t:
337. Oa appelle /«(>cea!i harmonique toiiL l'aisceau de quatre droites OA, OB, OC, 01), deut le rapport anharmo nique {O.ABCD) est égal à — I, c'est-i-dire (321) tout laisceaii qui détermine sur une tranavei-sale i;iieleoii([ue un système de quatre points harmoniques {fig. atS). On dit idors que les rayons OC et OD sont aanjugués harmoniques par rapport aux rayons OA et OB, ou qu'ils divisent harmanlqiiement l'angle AOB ; et, do inÈme que les rayons OActOB sont ci-ijugués harmoniques par ra|>port au\ /Vîf'wr ÙCetODoufiuils dit'itent harmoniquemant l'<ingleCO\).
Il est clair, d après eo qui précède, que si, ptir un point C pris d'une manière qiielcom/ue dans le phin d'un ongle AOB, on mène dii'erses sécantes telles que ACB, en prenant sur chaque sécante le point D conjugué harmonique du point C par rapport ait segment AB intercepté entre les côtés de l'angle, le lieu du point Usera le rayon OD conjugué harmonique de OC par rapport à l'angle AOB. Ainsi , pendant que la sécanle tourne autour du point C, lo conjugué Dde ce point fixe décrit une droite fiseOD, On donne à )a droite OD le nom de /mlaire du point C par rappvn à l'angle AOli, et au point C le nom de pôle de la droite OD par rapport au même angle ÂOB.
Sleiner a déduit de ce principe une démonstration très-élégante de la propriété fondamentale (313) du quadrilatère complet. Reportons- nous à ia^g-. ao6. Soient P' le conjugué harmonique de P par rapport à EF, et R' le conjugué harmonique de R par rapporta BD ; P' et R' devront appartenir l'un et l'aulreà la droite conjuguée harmonique de AC par rapport à l'angle EAF et, aussi, à îa droite conjuguée harmonique de AC par rapport à l'angle ECF. Les deux points P' et R' coïncident donc et ne diflè-
■220 liGOMLI'IllB l'LASK.
reot pas de l'intersection Q de BD et de EF; les systèmes EPFQ, BRDQ, Bont par smte harmoniques ; et l'on démontrBrait d'tine manière analogue qu'il en est de mfime du système AECP.
On voit en outre qiie, si par un poi/ii. Q, pris dimsle plan il'im angle EAF, o« mené i/cii.t transversales QDB, QFE, /e lisii du poînl d'ititerscclion C <lfs limites BF, ED, est la puliiire du point Q par rapport h l'angle EAF; de là résulte un moyen fort simple de construire, avec la règle seule, la polaire d'un point par rapport à un angle,
THÉORÈME
338, Bans un faisceau harmaniqae OA, OB, OC, OD, toute transversale A'B'C'D', parallèti: h l'un des rayons OD, est coupée par les trois autres rayons eu deux parties égales {Jrg. ii5).
En effel, dans la système harmonique A'B'C'D', le point D'étaRtà l'infini, puisque A'D' est parallèle à OD, son conjugué C doit être au milieu du segment A'B' (333).
Réciproquement, un faisceau de quatre droites OA, 08, OC, OD, est harmonique si une parallèle A'B'C'D' A l'un des rayons est divisée en deux parties égales par les trois autres.
En elfet, le point C étant le milieu du segment A'B', ce segment est divisé harmoniquement par le point C et par le point D' situé à l'inflni sur A'B', c'est-à-dire par le point C et parie point d'intersection de A'B' ot deOD. Le faisceau divisant harmoniquement la transversale particulière A'B'C'D' divise harmoniquement toute autre transversale ACBD (320), et par suite est un faisceau harmonique.
ConOLlAIBËS. 33!>. Lorsque, dans un faisceau barimmirjue, deux rayons conjugué.'' OC et OD sont rectangulaires, ces rayons .vont les bissectrices des deuxangles supplémentaires, formés par les deu.z autres rayons OA et OB; car une Iransveraale A'C'B', perpendiculaire à OC, étant alors parallèle à OD,
LIVRfi III. — LES MGUlinS SEJIlILABI.l^S. aiiÇJ
on a A'C'=C'iï'; par suite, les triangles vecl.aiigles OC A', OC'B', soal (jgaux, et OC est la bissecti-Jce de l'angle AOB.
La piopositioE réciproque: Un angle quelconque AOB at divisé hwmoniquement par sa bissectrice OC et cette OD de son supplément, résullerait pareillement du a"33S. Elle a d'ailleurs été démontrée directement
THÈOUÈME.
3i0. Si, par un pr.ini 0 pris d<im te plan d'un cercle C, on mène une séctintB quelcnnijue OFE , et ijiiùn détermine te conjugué Iwrmaniqiie I du point Opar rappoi'! h HF, te tien géométrique du point I, lorsque la sécante tourne autour du point G, est une ligne droite perpendiculaire au diamètre AU '/"' passe par le poii2t 0 [fig, ai6 et 217).
En cIleL, soiL 11 Is conjugué iiarmoniiiuc do 0 par rai'.piji'l u AB; .-i Ion joignait EA et EB, le faisceau (EA, EH, Elî, EO) sérail Imrmoniquu et, comme EA et EB sont rectangulaires, Kit serait la bissectrice du l'angle HEF (339). Mais dès lors les arcs BF et BF' étant égaux, la droite HO est la bissectrice de l'angle FHE', et, par suite, la perpendiculaire HZ est bissectrice de l'angle supplémentaire FHL. Or, dans tout triangle HEF, la base EF est divisée harmoniquemont par les bissectrices HZ et HO de l'angle au sommet cl de son supplément. Donc, \a poiut I est situé sur la perpendiculaire HZ au diamètre Aï!.
341. On dit que te point 0 est le ixJle de la droite HZ, et que la droite HZ eàt [apolaire du point 0 par rapport au cercle C. Le diamètre AB qui passe par le j^éle étant divisé liai'monii.iu9mcnt par
le pûlo 0 et ie pied li de la polaire, ou u (332) en grandeur et en signa la relatiûfi
dans laquelle B désigne le rayon du cercle C. Donc k- rayon da ccirle est moyen proportionnel entre las distances dit ceiit/v au pôle et h la
De celle relation, ou bien de ce qui a été dit au n° 33;i sur les positions relatives des deux points qui divisent liarinoniquement lin segment donné, résultent les propriétés suivantes :
1° Le pôle et la polaire sont situés d'un même côté du contre C; la polaire est extérieure au cercle si le pâle est intérieur; eîle coupe le cercle si le pôle est ejctérieur. Dans ce damier cas, Iti jxilaire coïncide ai-ec la corda de contact MN des tangentes issues dit pâle 0 ( fig. 516); car, lorsque E et F se confondent en M, le point I, qui est toujours compris entre eus, vient aussi 011 M, de sor(e que ce point de contact appartieut au lieu de? pointa I, c'osi-à-dire h la polaire du point 0.
2° La polaire du centre est à l'infini, et la polaire d'un point qui s'est éloigné indéfiniment dans une direction ilinnée vsl le diamètre perpendiculaire à celle direction. — InversBmeiiS, le pâle d'une droile située à l'infini est au centre, et le pôle d'un diamètre est à riiifini sur la perpendiculaire à ce diamètre,
3' La polaire d'un />oint du cercle est la tangente en ce point; et, inverseraent, le polo d'une tangente est son point de contact.
THÉORÈME
Za. Les polaires de tous les points d'une droite passent par le pôle de cette droite; et, inversement, les pôles de toutes lesdi-oites ejui passent par un i?oint sont situés sur la polaire de ce point [Jîg. ai8].
Bn efTet, soient X¥ une droite quelconque, I son pôle par rapport au cercle C, et 0 l'un quelconque de ses points- Si l'on abaisse du point I ta
uvRi; m. — i.iis FiGunES semblables, 'i-i^
parpendii^olaire îli sur CO, on aura {-190), à cause des droites antipara)lÈles IH, 00',
cn.co=.--a.co',
e: p:ir suite
Donc !a droile IH est ia polaire du point 0. Il résulte do là : i° que la polaire IH d'un point quelconque 0 de la droite XY passe par le pôle 1 de cette droite; a" que le pôlel d'une droile quelconque XY passant par un point 0 est située sur la polaire lil de ce poinl.
COBOLLAIIIE.
343. Toute droite a pour pôle V intersection des potaires de deux: de ses points. Tout point a pour polaire ht droite qnijnint lus pôles de deiui: droites menées pnr ce point,
THÉORÈME
3-14. Si, pfir un point 0 pris dans le plan d'un cercle, on mène deux transvej'sales OAB, OÂ'Ii', iju'on tire les droites AA', BB', qui se cou/jent en M, et les diviles AB', BA', gui se coupent en N, le lieu géomélrlijue des points M Ci N, lorsqu'on fait varier les sécimtes OAB, 0 A'B', est la jiolaire du point 0 [fig- ajg et aao).
ne.;
En effet, si Ton tire 61N et si l'on nomme I et V les points ofi cette dïoite coiipe AB et A'B', on voit, en considérant le quadrilatère complet
■202 i:no:iiKTHi!; i'lame.
MB'NA'BA, que les syslèmi's OA'i'B', OAIC, sont liurmoniqiica {Z\3), et par suite les points M et N sont sur la polaire 11' du point 0. CoaûLLAiiiËS.
3t3. Ce Ihéorème offre un moyen simple de construire avec la rtglb seule la polaire HN d'un point 0 par rapport au cercle,
'àW. Dans le triangle MiNO, cliaque côté est évidemment la polaire du sommet opixisé. Donc, dans tout quadrilatèrt! inscrit à un cercle, te iminl d'intersection des diagonales et les i/oints de concours des côtés opposés forment un triangle dont chaque sommet est te pôle du celé opposé.
Si la transversale OAB tend vers OA'îi'. W droites AA', 1)D' dcvieunent les tangentes au cercle en A' et en B'. Donc, si, par un point 0 pris dans te plan d'un ccn-le, on mène une sécante OA'B' « les tangentes L'Y, "&! 7/ixp>inttA ((B au I tic coupe le eenti , le lieu ^c métrifjue du pot itd i. me'ui\ T ih <c In m! loi i^iu li Itans'ei ak tourne autoui du / int 0 i l l< / r
Par suite, ai 1 on mené de- tan nniLU du i-
<lrilalère insent ABB A , on fori i cr | |ii i
avoir été complLto, i |o ir diagoii I liii-Jutiiu le
MNO. Donc, dans tout ipiadi it li, l m i c a un cercle. Ils tiots diagonales forment un liianijlc dont cli iqiie sin met at le pôle du lotc opposé. Enfin, en iéuni=saat Lette deimero piopriété ti la jucmiere et en ayant égard au théorème du n*" 337, on arrive à cet énoncé général : Si l'on inscrit à un cercle un ijiirulrilalêre quelconque et ija'on lia
dapi-emier : i° les diagonales intérieures des deus: quadrilatères se coupent en lin même point et foraient un falweau harmonique ; ft" les troisièmes diagonales sont situées sur la moitié divilc, et leurs ejHréniités forment une .lérie de quatre points harmoniques ; 3" l' intersection de deux diagoiud^s quelconque.': est le pôle de l'une des trois aulrc'.
raûBLùMii:,
3i7. Étnnt dwmés dcu.i: point.' A et B sur une circonférence de canti-e 0, trouver .mr cette circonférence un point P Ici, ijue les di-oites Vk et PB déterminent sur an diamèli-e fij:e DD' les segments OM, ON, cga,u: entre e,ix[Jlg.->.ii).
Soit FIE la polaire du point T commun aux droites AB et DD', par riip port au cercle donné. Les quatre points T, B, 1, A, étant harmoniques, ie faisceau E.ÏBFA est harmonique; par suite, il en est de même (Fl2l } du fiiisceau P.L-.BI-W '.\\\{ a pour tcnire l'e\(rémité T du diamètre FO.
Siais l'angle inscrit FEP éUint di-oil, la droite DD' esl parallèle au rayon Pli lie ce faisceavT ; cetla droite est donc divisée en deux parties égales OU et ON par les trois autres rayons.
Ofi loit qu'il y a deux points qui satisfont à la q I wnis dianitlralement opposés auï points communs à la circonférence et
à la polaire du point T.
3iS, On polygone quelconque AECDE étant donné, si l'on prend, par rapport à un cercle quelconque 0 de son plan, les polaires A'B', ii'C, CD', D'E', E'A', de ses divers sommets, on obtient un second polygone A'Ii'C'D'E' dont les sommets A', B', C, D', E', sont les pôles des côtés EA, AE, BC, CD, DE, du premier. En effet, le sommet de l'angle C, par exeniple, a |iour polairii [W-i : l;i droite lîC <.[m joint les pôles i) et C dos deux câlts C'B', CD', de cfi ani;le. X.n^'i, ou peut considérer la second iolygone A' B'C D'E' comme obicau, s^jilen pronanl k-* polaires dos som- .nets du premier polygone, soit en prenant les pèles de ses cétés. Et inversement, si i'on cherchait les pôies des côlés ou les polaires des som- :nel,s de la seconde figure, on retomberait sur la première.
;s deux polygonessont dits /raimrt'ï rédproqiier. par rapport au cercle 0
234 GÉO.UÉTRIE PLIiJlS.
qui reçoit ie nom de cercle directcm-. Jch joiit, par expmiile, un polygone quelconque inscrit dans un cercle et le polygone circonscrit formé en menant des tangentes par les sommeta du polyaone inscrit {fg. aa.).
Considérons en second lieu une courbe queicontiuo AliC [Jig. saî). En prenant, par rapport à un cercle quelconkjue 0 situé dons son plan.
les pôles A', B',.-.. des diverses tanîonlo^MA. llli,..,, on obLient ui:e
nouvelle courbe A'ÎJ'C' dont les langonles N'A', ÏS'B' sont les polaires
des points A, B, . . . , de la première. En eiTet, le point d'interiiection des tangentes MA et WB a pour polnire (343) la corde A'L'; et lorsque B tend vers A, la corde A'B'etle point M, qui sont toujours polaire et pôle, tendent respectivement vers la tangente A'N' et vers le point A- Ainsi, on peut consid<!rer ia seconde courbe À'B'C comme obteone, soit en iirenaiit !ea pôles des tangentes, soit en prenimt les polaires des points do la première courbe ABC. Dans la seconde manière d'opérer, la courbe A'B'C est dr'fîiiie par ses tangentes successives dont on dit qu'elk est Ycm-i-loppn. Inversement, si l'on clierchoit les pùies de? lanircnie.^ ou les pyliiires des points de ia seconde figure, en rolomberait sur la iiremit'rc.
Ces deus courbes s'^nt dites po!ainfs n'ciprxjKcs par rapj-orl au cercle directeur 0. L<; mynn du cercle ilirecltur csl d'aillcur; (311) i!iojy:/i proportionnel entre les distances de son centre à un point quelconque de l'une des courbes et à la tangente correspondante de l'auti-e eourbK.kiaii, la polaire réciproque d'ua cercle concentrique au cercle directeur est un autre cercle concentrique, et le rayon du cercle directeur est moyen proportionnel entre les rayons des deux autres cercles. En particulier, le cercle direcleur est à lui-même sa polaire réciproque. Lorsque le cercle considéré n'est pas concentrlquo au cercle direcleur, sa polaire réciproque n'est plus un cercle, comme nous le montrerons plus t[ird.
LlVllË lil. — LES FIGURES SEJiar.AEr.K, 2o.l
3i9. Ceia posé, voici on quoi consiste la mâlliode cIl-b polaires réciproques :
Une figure queleonqHeéiantdonnée, si l'on forme sa polaire l'éciproqiie (lar rapport à un cercle directeur, on obtiendra une nouvelle Bgure corrélative de la première, c'est-à-dire telle que ses points et ses droites seront respectivement remplacés par des droites et des points. Ainsi, à «ne série rectiligne do points dans l'une des figures réj)ondra dans l'autre un faisceau de droites, et rédproqiiemt'nl ; h des points en ligne droiie sur une courbe, répondront autant de tangentes issues d'un môme point et menées à la courbe correspondante; le point d'intersection de plusieurs courbes sera remplaré par une Iniigentc commune aux courbes correspondantes, etc., Tuiile propriL-lé f/cscript/w. c'est-à-dire n'ayant rapport qu'à la situation de.T ligne::, indépendamment de toute condition do grandeur, conduira a une autre propriété de !a figure polaire réciproque que l'on pourra énoncer immédiatement d'après oe qui précède, et qui sera par là mémo démontrée. Il n'est pas même nécessaire de construire la figure; il suffit, pour passeï' d'un énoncé à l'autre, de changer les mots pnints et lignes en lignes et points.
C'est ainsi que l'un des doux théorèmes (32C, 327 } sur les triangles homologiques rcsilte de 1 autre que la piopnéle de l'hexagone cîicon hcnt, due Ji Brianchon, résulte du théorème de Piseai &ui 1 Le\ tgono m sent (328 329) etc Toute conséquence de lun de ces deu\ deiniei théorèmes doit iubSi toi! luire a une conSL luence coi i Lhtn e do 1 autre \oiciq iclpii, \ei jl
Du t.ti I ^ i t
m ce t t , n .o, .o, n c, I
lu In M nci. I r in ioi il
et d i cùle oppote, it l i points de concours des autres côt''^ non r n secatifi, sont tiois points en ligne
Dans loiU qaaili tlaiêre inscrit dans un eei'cli , si l'on menu des tan gentei pardi ux sommet adjacents, le point th concours de chacune dell aiec le côte pasmnt par II j oml dt. Cl ntact de i'auti t, et Ip point de concours ite-. deux imtics côten sont tr is ]>i>ints en li^ne
Dun tout iib l tcie imcrii dans un cercle, les pninli de con
oppo é U l
iLi autres , I
tont il OIS cb oites qui se coupent c it
Dans tout qiadnîatcic nrcnn sent a un cercli, si l on prend let points de contait de deux côtài iid jacLi ts et q i l on l'oigne h p int h contact di chaque côté ai et if nmm t de l uliecâte ttlesiicux
i droit is s
opp ses.
>ut quaditlatue cvxon srclCflLsdtux diagonale
i des langciitcs iiiciiét:- par la \ i-l ics i/raili'S '/ni Jiii/^'iir'nC /cv poinl,\ s opiMséSj et les poiiitt de de coiil/icl des i-àlès apposés, sont concours dus côtés opposés, sont qiintrc droites se coupant <m même quatre points en ligna droite. point.
Dans tout tiiangh inscrit ilans Bans tout tniingle circonscrit à un cercle, les points de concours de un ceirlc, les droites qui Joignent chaque celé aivc la tangente me- le point de contact de chaque côté née par le sommet opposé sont trois avec le sommet opposé se coupent points en ligne dmite. au même /miut.
Les tliéorèmes de la colonne de gauche sont des coroll;iires du tliôorème de Pascal ; ce Hiéorème, étant en eiret indépendant de In bngueiir des cdtéa de l'hexagone inscrit, subsisLe lorsque l'on remplace quelquesuns de ces côlcs par des langentes & la circonférence. Les tliéorèmes de la colonne de droiie résultent de ceuS i!e la colonne de gauulie, d'après la lliéorie îles polnives réciproques.
On iieut aussi consid;'rer les lliéorèmeà de la colonne de droite comme (les coi'ûllairos du ih^orème de Briaiichen. dans leiiuel on suppose certains angles éjaus à dcuN Jroils. et les lhtorèjii« île la coIuiiiil' de gauche comme résultant alers de ceux de la colonrif Je druiic. d'après la tliL'orie des polaires réciproques.
C'est surtout à propos des coniques qu'on pourra voir toute \a iéeondité de cette belle métliode des polaiies réciproques, due au générai l'oncelet. 'i'oulefois, il faut remarquer que cette théorie, si utile comme méthode d'invention, puisqu'elle permet, suivant k piquante expressioa de tiergonnu, de faire en quelque sorte de la Géométrie en partie double, a, comme to'.is les pvocédfe de transformation, l'inconvénient de laisser ignorer comment la proposition que l'on dCoouvre se rattache à une tliéavie, et comment on pourrait s'y prendre pour la démontrer direelement. a En général, comme le remarque Jl. Cliasles, il ne suffît pas qu'une proposition soit vraie pour qu'un puisse '■ii faire un usage utile eu ilalliémaiiques, il faut entore connaître toulPS ses dépendances avec les diverses propositions qui se raltaclieiU lui même B'.ijei. »
331.1. Nous terminerons cet aperçu par quelques mots sur la transforiiiation des propi'iétés métriques, c'est-à-dire des propriétés daus lesquelles on a égard non-seulement à la situation des lignes, mais encore à certaines relations numériques entre les angles ou les segments des diverses lignes de la ûgure.
D'aliorf], les propriétés métriques angulaires se transforment simplement par la Itiéorie des polaires réciproques, au moyen du principe suivant ;
L'angle de deux droites est égala l'angle des droites qui joignent leurs pôles au centre du cercle directeur, car ces deux anales ont les côtés respectivemeiiLperpi.'iidiculaires.
LIVHR m. — LES FiGuiiiis sEMBi.Aiii.ES. aj;
Comme exemple, transformons cette proposition si connue ; Dans i'>iii Irr'nngle ABC, les liniiteiiis ka, lît, Zc, se coupent au même point !.
Soient 0 le centre du cercle directeiir, et A'Ii'C le triangle polaire réciproque tie ABC, A' étant le pâle de DC, B' celui de CA et C celui de AB. Les trois hauteurs Aa, B/i, Ce, se coupant au même point I, leurs pâles H, ë, 7, doiventâiresurunememedroite, polairedel. Or, lepôleadeAi* doit =e trouver d'une part sur B'C polaire de A, et de l'autre sur la perpendieul.iire menée par 0 à la droite O.V, puisque, en verUi du principe énonce pius iiaut, l'angle hOA' doit eire droit comme l'angle ÂoB des polaires ka, BC, des points h et A'. On a donc ce lliéorôme :
& l'on ioiiit un p:iint fixe 0 pris arbflr/iin-nwnt ili'ns le plan d'un triangle A'B'C aux lims siinnif!'^ A', B', C, les pcrpendwidaircs menées par ce point 0 nux trois ilroltcs OA', OB', OC, ainsi ohte?iites, vont couper respaclii'cmcnt les cales opposes 1!'C', C'A', A'B', en ti-ois points a, ë, y,
331. Quant aus relations segmeiHnires, On en transforma nn assez grand nombre à l'aide des deu:<. principes suivanis ;
r Le rapport anliarmoiiiquc de quatre points situés en ligne droite dans une Jigiire est égal au rapport anharmonique dit faisceau des quatre diviles correspondantes de la figure polaire réciproque, car ce faisceau et celui qu'on obtient en joignant les quatre points au centre du cercle directeur ont respectivement leurs angles égaux, d'après le principe du n" 330.
2° Lf rapport %~ des distances de deux points qiie/conf/iics A c( B au
centre 0 du cercle diiccieiir est <-g-7l au rapport ^^ des distances de chacun de ces points à la polaire de l'autre [fig. 224). Ciir A'N étant la
polaire de A et B'M celle de B. menons AC perpendiculaire sur OB et BD perpendiculaire sur OA ; nous aurons, en désignant par R le rayon du cercle directeur,
R=^OA.OA'=OB.OB', d'où ^ = ^r,-
yGoosle
