Inscrire un carré dans un triangle. — Discussion

219. Inscrire dans un rectangle donné un rectar/gle semblable à un autre rectangle donné. — Discussion.

220. Un angle AOB, tournant autour de son sommet 0, intercepte sur tes côtés d'un angle fixe, supplémentaire du premier, une corde AB : trouver le lieu des points qui divisent cette corde dans un rapport donné.

221. a, b, c, désignant los longueurs des trois côtés d'un triangle; p, ij, i; colloa des trois hauteurs ; ic, /,■ z, les côtés des trois carrés in- EcriSs ; 3^, y, z', les côtés des trois carrés ei-inscrits : démontrer les re-

222. Sur la base BG d'un triangle ABC, on décrit estérieuremenl au triangle un carré BGDE; on mène les droites AD et ÂE qui coupent BC en P et Q : démontrer que PQ est égal au côté du carré inscrit dans le triangle ABC et reposant sur BC.

223. Dans tout triangle ABC, le produit dos distances dss points BetC à la biiaoctrice do l'angle intérieur A, est égal au produit de la bissectrice de l'angle eitérieur supplémentaire par ta distance du milien de BC à la première bissectrice; do raérne, le produit des distances des points B et C à la bissectrice de l'angle oslériour A est égiii au produit de la bis- Bectriee de l'angle intérieur supplémenlairo par la distance du milieu de se h. lit première bissectrice.

. 224. La distance d'un point M d'une circonferenco à une corde quelconque est b moyenne proportionnelle des distances du niâme point aux tungentes menées par les Bïtrémités de la corde considérée.

225. Le produit des distances d'un point quelconque d'une circonférence à doux côtés opposés d'un quadrilatère inscrit dans cette circonférence, est égal au produit des distances du môme point aux deux autres côtés.

226. Si des ti-ois sommets d'un triangle el du point de rencontre de ses médianes, on mène des parallèles dans une direction dounêe jusqu'à un axe quelconque, la dernière parallèle est la moyenne arithmétique des trois premières.

227. Étant donnés deux triangles et un point, mener par ce point une droite telle, que les sommes res[iectives des distances des sommets des

deux triangles à cette droite soient dans un rapport donné — -

g ilV. - Relations métriques entre le: d'un triangle,

§28. Si, du milieu d'un dos côtés d'un triangle rectangle, on abaisse jne perpendicuiyire sur l'hypoténuse, ia différence des carrés des seg-

QUESTIONS PHOPOSÉES, 877

menls dÉtcrininàa sur l'hypoti^nuse est égale au carré de l'autre côté du triangle.

229. Soit l'angle droit AOB placé au centre de la circonférence OA. D'un point quelconque C pris sur l'arc AB, on abaisse sur OA ou sur OB la perpendiculaire CD, qui rencontre en Ele rayon, bissectrice de l'angle AOB ; démontrer la relation

230. Si, d'un point pris dans !e plan d'un polygone, on abaisse dos perpendiculaires sur tous ses côtés, les deux sommesdes carrtSsdes segmenls ainsi déterminés, pris alternativement, sont égales.

231. Étant donné un cercle 0, on décrit un demi-cercle sur l'un de ses rayons OA, et l'on mène à ce rayon une pcrpeniliculaire CDE qui coupe le cercle 0 en D et le deaii-cercte OA en E : démontrer la relation

ad'=^-j.Ië\

232. Dans tout quadrilatère, !a somme des carrés des diagonales est le double de la somme des carrés des droites qui joignent les milieux des côtés opposés.

233. Soit G le point de rencontre des médianes d'un triangle ABC; démontrer la relation

AB h-aC +

BC'= u{ag'-+- Bg'-i-Cg').

~ En déduire le rapport de la somme des carrés des eûtes d'un triangle à la somme dos carrfe de ses médianes,

234. Soient G le point de rencontre des médianes d'un triangle ABC, et M un point quelconque pris dans son plan ; démontrer la relation

m -i- m + MÛ" -- Ig' -^ bg' + cg' -h 3mg'

535. Étant donné un triangle ABC, trouver le lieu des points dont la somme des carrés des dislances aux trois sommets du triangle est constante et égale à un carré donné P.

236. La somme des carrés do deux côtés d'un quadrilatfere, plus la sonune des carrés des diagonales, est égale à la somme des carrés des deux autres côtés, plus quatre fois le carré de k ligne qui joint les milieux do ces côtés.

237. La somme des carrés des diagonales d'un trapèze est égale à l-i

378 CÉOMÉIRLE PLANE.

somme des carrés des côtés non parallèles, plus deux fois le produit des bases.

238. Si l'on prend deux points à égale distance du centre sur le diamÈtre d'mi cercle, la somme des carrés des distances d'un point de ia circonférence à ces deux points est constante.

230. Dans teul triangle ÂBC, le produit des distances des points B et C à la bissectrice de l'angle intérieur A est égal au carré de la moitié de BC, diminué du carré de la demi-différence des côtés AB et AC; de même, le produit des distances des points B et G à la bissectrice do l'angle extérieur A est égal BU carré de !a demi-somme des côtés AB et AC, diminué du carré de la moitié de BC.

240. Le sommet A d'un rectangle ABCD est Use, les sommets B et D se meuvent sur un même cercle ; quel est le lieu du sommet C opposé au sommet A?

241. Trouver le lieu dos points qui partagent les diverse cordes d'un cercle donné en deux segments (additifs ou soustraclifs) dont le produit soit consUint.

2i2. Étant donnés ua cercle 0 et un point P, trouver le lieu des points M tels, que la distance MP soit égale à la tangente meniSe du point M an cercle 0.

2i3. i et c étant les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, et h la hauteur qui correspond à l' hypoténuse, démontrer la relation

'MA. a, 6, c, étant les côtés d'un triangle rectangle en A, et h la hauteur qui correspond i l'hypoténuse a, le triangle qui a pour côtés t + c, A et (1 + A, est aussi rectangle.

245. Si un triangle équilatéral a ses sommets respectivement situés sur trois droites parallèle, et si 6 et c sont les distances de la parallèle intermédiaire aux deux autres, la côté du triangle a pour e:

2i6. Dans tout trapèze, la différence des carrés des diagonales est à la différence des carrés des côtés non parallèles comme la somme des côtés parallèles est à leur différence.

2i.7. Calculer les diagonales d'un trapèze, connaissant ses quatre côtés.

QtJESTiONS PROPOSÉES. 37g

248. AECD est un quadrilatère, E le milieu de la droite qui unit iea milieux àes diagonales; ai àa point E comme centre on décrit un cercle, montrer que la somme des carrés des distances d'un point P de ce cercle aux quatre sommets A, B, G, D, est constante et égale à la somme des carrés des distances du centre E aus mÈmes soramels, plus quatre fois ËP'.

249. Une corde PAQ coupe en A le diamèlre d'un cercle sous un angîo de 45 degrés, démontrer que AP -t- AQ est égale à deux fois le carré du rayon.

230. Si deux cordes se coupent dans un cercle, la différence do leurs carrés est égale à la différence des carrés des différences de leurs segments.

231, Si l'on prend un point dans l'intérieur d'un rectangle, les sommes des carrés des dislances de ce point à deux sommets opposés sont égales.

252. Si l'on mène une tangente à un cercle, la partie de cette tangente interceptée par les tangentes menées aux exlrémîtés d'un même diamètre est divisée au point de contact en deux segments dont le produit est égal au carré du rayon.

253, Si, autour de deux pointa A et B d'une circonférence, on fait tourner les côtés d'un angle droit M, et que du point N où le côté BM coupe la circonférence on abaisse la perpendiculaire KP sur le diamÈtre AA', lo

rapport